Question

如圖所示，在x軸上方有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，在x軸下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，且E1=E2=

mg

q

，在x軸下方的虛線（虛線與y軸成45°）右側(cè)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端固定在第一象限內(nèi)的O′點(diǎn)，且可繞O'點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端栓有一質(zhì)量為m的小球，小球帶電量為+q，OO′與x軸成45°，OO′的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．先將小球放在O′正上方，從繩恰好繃直處由靜止釋放，小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)將繩子斷開．求：
（1）繩子第一次繃緊后小球的速度大�。�
（2）小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度；
（3）小球從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打在x軸上經(jīng)過的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）在繩沒有拉直之前，小球做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移的大小為繩的長(zhǎng)度，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）當(dāng)繩被拉直時(shí)，小球的沿著繩方向的速度變?yōu)榱悖�只有垂直繩方向的速度的大小，之后再電場(chǎng)的作用下，小球加上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得小球進(jìn)入磁場(chǎng)是的速度的大�。�
（3）小球在磁場(chǎng)中做的是圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以求得小球的在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，小球離開磁場(chǎng)后，進(jìn)入電場(chǎng)在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由此可以求得小球的運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答：解：（1）小球一開始受到的合力為：F_合=

2

mg，方向與水平成45°角．
做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，繃緊之前的速度為v₁，繩子恰好處于水平狀態(tài)，則有：
F合?

2

L=

1

2

mv12
解得：v1=2

gL

繃緊后小球速度為：v₂=v₁cos45°
即為：v2=

2gL

（2）接下來小球做圓周運(yùn)動(dòng)，剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₃，由能量守恒得：
F合?(1-cos

π

4

)L=

1

2

mv32-

1

2

mv22
解得：v3=

2 2 gL

（3）如圖所示，帶電小球垂直于磁場(chǎng)邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，重力電場(chǎng)平衡，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為：
r=

mv3

qB

經(jīng)過半圓后出磁場(chǎng)，開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)的距離為：d=2r
小球從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打在x軸上經(jīng)過路程為：
S=π．r+2r
設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t則有：t=

S

v3

解得：t=

(π+2)m

qB

答：（1）繩子第一次繃緊后小球的速度大小為

2gL

；
（2）小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為

2 2 gL

；
（3）小球從進(jìn)入磁場(chǎng)到第一次打在x軸上經(jīng)過的時(shí)間為

(π+2)m

qB

．

點(diǎn)評(píng)：電荷在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出半徑．定圓心角，求時(shí)間．