Question

真空中有如圖裝置，水平放置的金屬板A、B中間開(kāi)有小孔，小孔的連線沿豎直放置的金屬板C、D的中間線，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（初速不計(jì)、重力不計(jì)）P進(jìn)入A、B間被加速后，再進(jìn)入金屬板C、D間的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，并恰能從D板下邊緣射出．已知金屬板A、B間電勢(shì)差為U_AB=+U₀，C、D板長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，C、D板間距為

3

3

L．在金屬板C、D下方有如圖l所示的、有上邊界的、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)上邊界與金屬板C、D下端重合，其磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的圖象如圖，圖中的B₀為已知，但其變化周期T未知，忽略偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的邊界效應(yīng)．
（1）求金屬板C、D間的電勢(shì)差U_CD；
（2）求粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（3）已知垂直紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向，該粒子在圖2中t=

3

4

T0時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)，并在t=T₀時(shí)刻的速度方向恰好水平，求該粒子從射入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間t_總．

Answer 1

分析：（1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v₀，對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理可以求得v₀，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何關(guān)系列式即可求解C、D間的電勢(shì)差U_CD；
（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求出速度v大小，再結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子由k點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)角為θ；
（3）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡，分析粒子運(yùn)動(dòng)情況，求出粒子每個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)而求出總時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v₀，對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理：
qU0=

1

2

m

v

2 0

解得  v0=

2qU0 m

進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，水平位移        x=

1

2

at2
其中加速度：a=

qUCD

md

（式中d=

3

3

L）          
豎直位移與時(shí)間關(guān)系：L=v₀t
又依題意“恰能從D板下邊緣射出”：x=

3

6

L
解得：UCD=

2

3

U0
（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過(guò)程有
q?

UCD

2

=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：v=

8qU0 3m

設(shè)粒子由k點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)角為θ，則cosθ=

v0

v

=

3

2

或者tanθ=

3 L 6

L 2

或者tanθ=

vx

v0

=

1

3

解得      θ=30°
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，周期為：T =

2πm

qB0

粒子從k進(jìn)入磁場(chǎng)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，由“并在t=T₀時(shí)刻的速度方向恰好水平”知，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為?=60°，此過(guò)程對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1=

T

6

，到達(dá)了e點(diǎn)；接著磁場(chǎng)反向，在t2=

T

2

內(nèi)粒子沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半周到達(dá)f點(diǎn)；此時(shí)磁場(chǎng)再反向，粒子在t3=

T

6

內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到g點(diǎn)；接著在t4=

T

2

內(nèi)運(yùn)動(dòng)到h點(diǎn)；再接著在t5=

T

6

內(nèi)運(yùn)動(dòng)到i點(diǎn)；最后經(jīng)t6=

T

6

離開(kāi)磁場(chǎng)．
則該粒子從射入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間為t總=t1+t2+t3+t4+t5+t6=

5T

3

即 t總=

10πm

3qB0

答：（1）金屬板C、D間的電勢(shì)差U_CD為

2

3

U0；
（2）粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為

8qU0 3m

，方向與D板的夾角為30°；
（3）該粒子從射入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間t_總為

10πm

3qB0

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能夠正確分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，難度適中．