Question

光滑的水平面上固定有左、右兩豎直擋板，擋板間距離足夠長，有一質(zhì)量為M，長為L的長木板靠在左側(cè)擋板處，另有一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點），放置在長木板的左端，已知小物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)為μ，且M＞m，現(xiàn)使小物塊和長木板以共同速度v₀向右運動，設(shè)長木板與左一右擋板的碰撞中無機械能損失．重力加速度為g．
（1）將要發(fā)生第二次碰撞時，小物塊與木板的共同速度多大？
（2）為使小物塊最終不從長木板上落下，板長L應(yīng)滿足什么條件？
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計算整個系統(tǒng)在剛要發(fā)生第四次碰撞前損失的機械能和此時物塊距離木板最左端的長度．

Answer 1

分析：（1）選取正方向，運用動量定理來確定共同運動的速度；
（2）以木板為參考系，選取物塊為研究對象，利用動能定理結(jié)合發(fā)生的位移，可確定物塊最終不從長木板上落下，板的長度；
（3）分別運用動量定理與動能定理列出每次碰撞時兩定理的式子，從而求出第四次碰撞前損失的機械能．以木板為參考系，列出四次的相對位移表達式．再根據(jù)位移方向，從而確定物塊距離木板最左端的長度．

解答：解：（1）選M運動方向為正方向
Mv₀-mv₀=（M+m）v₁
v1=

M-m

m+M

v0
（2）由運動過程分析可知，木板第一次撞墻后，小物塊相對木板向左滑行的距離最大，若此時的相對位移為s₁，則
μmgs1=

1

2

(M+m)

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 1

L≥s₁時，即L≥

2M

(M+m)μg

v

2 0

（3）二次撞前：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁
三次撞前：Mv₁-mv₁=（M+m）v₂
四次撞前：Mv₂-mv₂=（M+m）v₃
△E=

1

2

(m+M)

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 3

≈149.79J
二次撞前：相對于小車向左運動s1=

2M

(M+m)μg

v

2 0

三次撞前：相對于小車向右運動s2=

2M

(M+m)μg

v

2 1

四次撞前：相對于小車向左運動s3=

2M

(M+m)μg

v

2 2

由于物塊相對于小車往復(fù)運動，故四次撞前距離小車最左端長度
d=s₁-s₂+s₃
代入數(shù)據(jù)得d≈20m
答：（1）將要發(fā)生第二次碰撞時，小物塊與木板的共同速度

M-m

M+m

v0；
（2）為使小物塊最終不從長木板上落下，板長L應(yīng)滿足即L≥

2M

(M+m)μg

v

2 0

；
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，μ=0.6．計算整個系統(tǒng)在剛要發(fā)生第四次碰撞前損失的機械能149.79J；此時物塊距離木板最左端的長度約為20m．

點評：本題考查動量定理與動能定理，并多次在不同過程中使用，讓同學們更能熟練的掌握規(guī)律．同時此處巧取木板作為參考系，注意位移與速度均要相對木板的值．