Question

如圖，V形細(xì)桿AOB能繞其對(duì)稱軸OO’轉(zhuǎn)動(dòng)，OO’沿豎直方向，V形桿的兩臂與轉(zhuǎn)軸間的夾角均為α=45°．兩質(zhì)量均為m=0.1kg的小環(huán)，分別套在V形桿的兩臂上，并用長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.2m、能承受最大拉力F_max=4.5N的輕質(zhì)細(xì)線連接．環(huán)與臂間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.2倍．當(dāng)桿以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，細(xì)線始終處于水平狀態(tài)，取g=10m/s²．
（1）求桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的最小值；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細(xì)線斷裂，寫出此過程中細(xì)線拉力隨角速度變化的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）角速度最小時(shí)，f_max沿桿向上，此時(shí)繩處于松弛狀態(tài)，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）當(dāng)f_max沿桿向下時(shí)，繩仍處于松弛狀態(tài)，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解角速度，此后，拉力隨ω的增大而變大，當(dāng)細(xì)線拉力剛達(dá)到最大時(shí)，求出最大角速度，進(jìn)而求出拉力．

解答：解：（1）角速度最小時(shí)，f_max沿桿向上，此時(shí)繩處于松弛狀態(tài)則
豎直方向由平衡條件得F_Nsin45°+f_maxcos45°=mg，
水平方向由牛頓第二定律得F_Ncos45°+f_maxsin45°=mω₁²r，
且f_max=0.2F_N，r=

l

2

，
解得ω₁=

10

3

≈3.33rad/s                
（2）當(dāng)f_max沿桿向下時(shí)，繩仍處于松弛狀態(tài)，有
豎直方向由平衡條件得F_Nsin45°=f_maxcos45°+mg，
水平方向由牛頓第二定律得F_Ncos45°+f_maxsin45°=mω₂²r，
解得ω₂=5rad/s                
此后，拉力隨ω的增大而變大，當(dāng)細(xì)線拉力剛達(dá)到最大時(shí)，有
F_Nsin45°-f_maxcos45°=mg
F_max+F_Ncos45°-f_maxsin45°=mω₃²r，
解得ω₃=10rad/s            
因此在ω₂～ω₃間，F拉=mω2r-FNcos45°+fmaxsin45°
所以拉力隨角速度的函數(shù)關(guān)系式為：F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）
答：（1）桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的最小值為3.33rad/s；
（2）將桿的角速度從（1）問中求得的最小值開始緩慢增大，直到細(xì)線斷裂，此過程中細(xì)線拉力隨角速度變化的函數(shù)關(guān)系式為
F_拉=0（

10

3

rad/s≤ω≤5rad/s）；F拉=0.06ω2-1.5（5rad/s＜ω＜10rad/s）．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是能對(duì)圓環(huán)進(jìn)行受力分析，根據(jù)豎直方向由平衡條件列式及水平方向牛頓第二定律列式求解，難度適中．