Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，虛線MN平行于y軸，N點(diǎn)坐標(biāo)（-l，0），MN與y軸之間有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限的某區(qū)域有方向垂直于坐標(biāo)平面的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出）．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，從虛線MN上的P點(diǎn)，以平行于x軸正方向的初速度v₀射入電場(chǎng)，并從y軸上A點(diǎn)（0，0.5l）射出電場(chǎng)，射出時(shí)速度方向與y軸負(fù)方向成30°角，此后，電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)并從圓形有界磁場(chǎng)邊界上Q點(diǎn)(

3 l

6

，-l)射出，速度沿x軸負(fù)方向．不計(jì)電子重力，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��？
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��？電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t是多少？
（3）圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S是多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電場(chǎng)力提供合力使其做類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式從而即可求解；
（2）由幾何關(guān)系可確定OD的距離，再由運(yùn)動(dòng)的分解可列出速度間的關(guān)系式，最后由運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑與周期公式，借助于已知長(zhǎng)度，來確定磁場(chǎng)強(qiáng)弱與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）以切點(diǎn)F、Q為直徑的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的半徑最小，從而根據(jù)幾何的關(guān)系，并由面積公式即可求解．

解答：解：（1）設(shè)電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，時(shí)間為t，離開電場(chǎng)時(shí)，沿y軸方向的速度大小為v_y，則
由牛頓第二定律，a=

eE

m

y軸方向v_y=at
x軸的位移，l=v₀t
速度關(guān)系，v_y=v₀cot30°
解得：E=

3 m v 2 0

el

（2）設(shè)軌跡與x軸的交點(diǎn)為D，OD距離為x_D，則
x_D=0.5ltan30°
x_D=

3

6

l
所以，DQ平行于y軸，電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道的圓心在DQ上，電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．設(shè)電子離開電場(chǎng)時(shí)速度為v，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則
v₀=vsin30° 
r=

mv

eB

=

2mv0

eB

             
r+

r

sin30°

=l（有r=

l

3

）   
t=

T

3

                    
T=

2πm

eB

（或T=

2πr

v

=

πl(wèi)

3v0

）
解得：B=

6mv0

el

，t=

πl(wèi)

9v0

（3）以切點(diǎn)F、Q為直徑的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的半徑最小，設(shè)為 r₁，則
r1=rcos30°=

3

2

r=

3

6

l
最小面積為，S=π

r

2 1

=

πl2

12

答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

3 m v 2 0

el

；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

6mv0

el

；電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t是

πl(wèi)

9v0

；
（3）圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S是

πl2

12

．

點(diǎn)評(píng)：粒子做類平拋時(shí)，由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式相結(jié)合來綜合運(yùn)用；在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由半徑公式與幾何關(guān)系來巧妙應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生在電學(xué)與力學(xué)綜合解題的能力．注意區(qū)別磁場(chǎng)的圓形與運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓形的半徑不同．