Question

（2012全國(guó)高考新課標(biāo)理綜卷）拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖)．設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g.某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

(1)若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小．

(2)設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ₀，若θ≤θ₀，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．求這一臨界角的正切tanθ₀.

Answer 1

 [解析] (1)設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把．將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有

Fcosθ＋mg＝N①

Fsinθ＝f②

式中N和f分別為地板對(duì)拖把的正壓力和摩擦力．按摩擦定律有

f＝μN(yùn)③

聯(lián)立①②③式得

F＝ mg④

(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有

Fsinθ≤λN⑤

這時(shí)，①式仍滿足．聯(lián)立①⑤式得

sinθ－λcosθ≤λ⑥

現(xiàn)考察使上式成立的θ角的取值范圍．注意到上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無(wú)限大時(shí)極限為零，有

sinθ－λcosθ≤0⑦

使上式成立的θ角滿足θ≤θ₀，這里θ₀是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ₀時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把．臨界角的正切為

tanθ₀＝λ⑧