Question

如圖所示，一個(gè)單匝閉合圓形線圈面積為S，電阻為R，放在空間分布均勻的磁場(chǎng)中，且線圈平面與磁場(chǎng)垂直，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化規(guī)律為B=B0sin

2π

T

t
（1）在0～T時(shí)間內(nèi)，哪些時(shí)刻線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大？
（2）在

T

4

～

3T

4

時(shí)間內(nèi)，通過線圈橫截面的電量是多大？
（3）在0～T時(shí)間內(nèi)，線圈中所產(chǎn)生的熱量是多大？

Answer 1

分析：（1）作出磁通量隨著時(shí)間變化的圖象，磁通量變化最快的時(shí)刻也就是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大的時(shí)刻；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電流定義公式聯(lián)立求解即可；
（3）正弦式交變電流，求解出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值，然后求解有效值，最后根據(jù)焦耳定律求解電熱．

解答：解：（1）線圈面積一定，B的周期性變化使穿過線圈的磁場(chǎng)量發(fā)生變化，Φ=B_mSsin?

2π

T

t．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)律，ε=n

△Φ

△t

，可見電動(dòng)勢(shì)最大時(shí)也就是

△Φ

△t

最大．如何確定

△Φ

△t

最大的時(shí)刻呢？我們可將Φ=B_mSsin

2π

T

t的函數(shù)關(guān)系用Φ-t圖來表示（如右圖）．在該圖上，曲線的斜率反映了

△Φ

△t

的大小．由圖可見，當(dāng)t等于0、

T

2

、T時(shí)，切線的斜率最大，因此，在這些時(shí)刻線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大．
（2）Φ的周期性變化使得ε、I也作周期性的變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律得：
ε=

△Φ

△t

，I=

ε

R

=

△Φ

R△t

．
而△Φ=I△t，所以△Q=

△Φ

R

．
即在△t時(shí)間內(nèi)，通過導(dǎo)體橫截面的電量只與磁通量的初末狀態(tài)（△Φ=Φ₂-Φ₁）及導(dǎo)體
的電阻R有關(guān)，而與△t本身無關(guān)．
∴△Q=

△Φ

R

=

Φ2-Φ1

R

=

B0S-(-B0S)

R

=

2B0S

R

．
（3）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為：Em=?mω=B0S

2π

T

有效電動(dòng)勢(shì)為：E=

Em

2

=

B0S 2π T

2

=

2

B0S

π

T

電熱為：Q=I2RT=(

E

R

)2RT=

2π2B02S2

RT

答：（1）在0～T時(shí)間內(nèi)，當(dāng)t等于0、

T

2

、T時(shí)，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大；
（2）在

T

4

～

3T

4

時(shí)間內(nèi)，通過線圈橫截面的電量是

2B0S

R

；
（3）在0～T時(shí)間內(nèi)，線圈中所產(chǎn)生的熱量是

2π2B02S2

RT

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是要能根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的一般表達(dá)式，可以將磁通量的變化等同于矩形線圈繞垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理模型．