Question

一探險(xiǎn)隊(duì)在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)OA豎直，另一側(cè)的坡面OB呈拋物線形狀，與一平臺(tái)BC相連，如圖所示．已知山溝豎直一側(cè)OA的高度為2h，平臺(tái)離溝底h高處，C點(diǎn)離豎直O(jiān)A的水平距離為2h．以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系xOy，坡面的拋物線方程為y=x²/2h．質(zhì)量為m的探險(xiǎn)隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，沿水平方向跳向平臺(tái)．人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）若探險(xiǎn)隊(duì)員以速度v₀水平跳出時(shí)，掉在坡面OB的某處，則他在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？
（2）為了能跳在平臺(tái)上，他的初速度應(yīng)滿足什么條件？請計(jì)算說明．
（3）若已知探險(xiǎn)隊(duì)員水平跳出，剛到達(dá)OBC面的動(dòng)能E_k=1.55mgh，則他跳出時(shí)的水平速度可能為多大？

Answer 1

分析：（1）人落在OB上某位置時(shí)，確定有位置坐標(biāo)，根據(jù)位置坐標(biāo)可以求出平拋運(yùn)動(dòng)下落和水平方向的位移，根據(jù)水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)列方程求解即可；
（2）人落在平臺(tái)上，抓住臨界點(diǎn)B和C分別求出初速度，則落在平臺(tái)上的初速度應(yīng)該介于這兩個(gè)初速度之間．
（3）根據(jù)人可能落在OB面和BC面上分別求出可能的初速度．

解答：解：（1）設(shè)探險(xiǎn)隊(duì)員跳到坡面上時(shí)水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
x=v₀t     ①
H=

1

2

gt2        ②
根據(jù)幾何關(guān)系有：
y=2h-H
由于落在OB上滿足拋物體線方程即
y=

x2

2h

即
2h-H=

x2

2h

               ③
由①②③可解得H=

2gh2

v 2 0 +gh

即運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

4h2 v 2 0 +gh

（2）若探險(xiǎn)員掉在C處，根據(jù)題意應(yīng)該滿足幾何關(guān)系有：
∵h=

1

2

gt2
∴t=

2h g

又∵x=2h=v₀t
∴v0=

2gh

若探險(xiǎn)員掉在B 處，有：
h=

x2

2h

x=

2

h=v₀t
∴v0=

gh

即探險(xiǎn)員落在BC處的速度關(guān)系應(yīng)該滿足：

gh

≤v0≤

2gh

（3）若搶險(xiǎn)員掉在BC面上，根據(jù)動(dòng)能定理有：
Ek-

1

2

m

v

2 0

=mgh
代入得：1.55mgh-

1

2

m

v

2 0

=mgh
解得：v0=

11gh 10

若探險(xiǎn)員掉在坡面OB上，
Ek-

1

2

m

v

2 0

=mg

1

2

gt2
即1.55mgh-

1

2

m

v

2 0

=mg

1

2

gt2
由（1）得t=

4h2 v 2 0 +gh

所以可以解得：v0=

3gh 5

答：（1）若探險(xiǎn)隊(duì)員以速度v₀水平跳出時(shí)，掉在坡面OB的某處，則他在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

4h2 v 2 0 +gh

；
（2）為了能跳在平臺(tái)上，他的初速度應(yīng)滿足

gh

≤v0≤

2gh

；
（3）若已知探險(xiǎn)隊(duì)員水平跳出，剛到達(dá)OBC面的動(dòng)能E_k=1.55mgh，則他跳出時(shí)的水平速度可能為v0=

11gh 10

或v0=

3gh 5

．

點(diǎn)評：本題主要考查平拋運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的應(yīng)用，以及函數(shù)最值的計(jì)算，意在考查考生的綜合分析及數(shù)學(xué)計(jì)算能力．