Question

某恒星遠(yuǎn)處有一顆行星，靠近行星周圍有眾多的衛(wèi)星，且相對(duì)均勻地分布于行星周圍．假設(shè)衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過天文觀測，測得離該行星最近的一顆衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₁T，周期為T₁．已知萬有引力常量為G．
（1）求該行星的質(zhì)量；
（2）通過天文觀測，發(fā)現(xiàn)離該行星很遠(yuǎn)處還有一顆衛(wèi)星，其運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₂，周期為T₂，試估算該行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量．
（3）通過天文觀測發(fā)現(xiàn)，某一時(shí)刻行星跟距離自己最近的衛(wèi)星以及距離自己很遠(yuǎn)的衛(wèi)星正好分布在一條直線上，求再經(jīng)過多長時(shí)間它們又將分布在一條直線上．

Answer 1

分析：（1）萬有引力做為向心力，明確告訴了行星的周期，所以向心力的公式要考慮用含有周期的公式．
（2）因?yàn)樾行侵車�的衛(wèi)星分布均勻，研究很遠(yuǎn)的衛(wèi)星可把其他衛(wèi)星和行星整體作為中心天體，根據(jù)萬有引力提供向心力求出總質(zhì)量，則靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量等于剛才求的總質(zhì)量減去行星質(zhì)量．
（3）若要再次讓兩顆衛(wèi)星在一條直線上，則應(yīng)該在相同時(shí)間內(nèi)，兩顆衛(wèi)星經(jīng)過的周期之差應(yīng)該是整數(shù)．

解答：解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得：
G

Mm1

R12

=m1R1

4π2

T12

，
解得：
M=

4π2R13

GT12

．                                
（2）因?yàn)樾行侵車�的衛(wèi)星分布均勻，研究很遠(yuǎn)的衛(wèi)星可把其他衛(wèi)星和行星整體作為中心天體，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
G

M′m2

R22

=m2R2

4π2

T22

，
解得：
M′=

4π2R23

GT22

．                    
故該行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量為：
M總=M′-M=

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

         
（3）若要再次讓兩顆衛(wèi)星在一條直線上，則應(yīng)該在相同時(shí)間內(nèi)，兩顆衛(wèi)星經(jīng)過的周期之差應(yīng)該是整數(shù)，即：
(

2π

T1

-

2π

T2

)t=nπ （n=1、2、3…），
解得：
t=

nT1T2

2(T2-T1)

（n=1、2、3…）．
答：
（1）該行星的質(zhì)量為M=

4π2R13

GT12

．
（2）該行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量為

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

．
（3）再經(jīng)過t=

nT1T2

2(T2-T1)

（n=1、2、3…）時(shí)間它們又將分布在一條直線上．

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于求衛(wèi)星的質(zhì)量，我們可以在行星周圍找一顆最遠(yuǎn)的衛(wèi)星研究，即把行星和其周圍的衛(wèi)星當(dāng)成中心體，此法只適用于具有很遠(yuǎn)衛(wèi)星的行星．