Question

如圖1所示，真空中有豎直放置的平行金屬板A、B和水平放置相距為d的平行金屬板C、D，C、D板長為L，A、B板間加有恒定的電壓U₀，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子從A板靜止釋放，經(jīng)AB間的電場(chǎng)加速后進(jìn)入C、D兩板的正中間．在帶電粒子進(jìn)入C、D間的同時(shí)，給C、D兩板加上如圖2所示周期性變化的交變電壓，（粒子重力不計(jì)）求：
（1）帶電粒子進(jìn)入C、D間的速度大�。�
（2）若此粒子在T/2時(shí)間內(nèi)從C、D間飛出，則飛出時(shí)在電場(chǎng)方向的位移是多少？
（3）若此粒子從C、D間飛出時(shí)恰能以平行于兩板的速度飛出，則交變電壓U₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理可得粒子飛出AB進(jìn)入CD的速度
（2）粒子在CD間做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋的規(guī)律可解得沿電場(chǎng)方向的偏轉(zhuǎn)位移
（3）由于電壓大小恒定，故粒子的加速度大小恒定，帶電粒子在沿電場(chǎng)方向做單向的反復(fù)加速、減速運(yùn)動(dòng)，由于粒子是以平行于金屬板的速度進(jìn)入的，若再以平行與金屬板的速度飛出，則粒子在金屬板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間必須為電壓周期的整數(shù)倍，且偏轉(zhuǎn)位移小于極板寬度的一半，由此可得電壓取值范圍

解答：解：（1）帶電粒子經(jīng)A、B加速進(jìn)入C、D間的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qU0=

1

2

mv02
解得：v0=

2qU0 m

（2）粒子在

T

2

時(shí)間內(nèi)從C，D間飛出時(shí)，在CD間的電壓恒為U₁，則粒子在CD間的運(yùn)動(dòng)時(shí)類平拋運(yùn)動(dòng)，則：
F=qE=

qU1

d

，
粒子加速度為：
a=

F

m

=

qU1

md

又運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

L

v0

當(dāng)粒子從CD間飛出時(shí)，沿電場(chǎng)方向的位移為：
y=

1

2

at2=

qU1L2

2mdv02

=

U1L2

4dU0

（3）帶電粒子在沿電場(chǎng)方向做單向的反復(fù)加速、減速運(yùn)動(dòng)，每次加速和減速過程中在沿電場(chǎng)方向的位移大小都相等，其大小為：
y0=

1

2

at2=

1

2

qU1

md

(

T

2

)2=

qU1T2

8md

欲使粒子恰能以平行于金屬板的速度飛出，則應(yīng)有：

L

v0

=nT(n=1、2、3…)
2ny0＜

d

2

解得：
U1＜

4nd2U0

L2

(n=1、2、3…)
答：
（1）帶電粒子進(jìn)入C、D間的速度大小為v0=

2qU0 m

；
（2）若此粒子在T/2時(shí)間內(nèi)從C、D間飛出，則飛出時(shí)在電場(chǎng)方向的位移是y=

U1L2

4dU0

（3）若此粒子從C、D間飛出時(shí)恰能以平行于兩板的速度飛出，則交變電壓U₁的取值范圍U1＜

4nd2U0

L2

(n=1、2、3…)．

點(diǎn)評(píng)：本題是比較綜合的題目，重點(diǎn)結(jié)合電壓，分析好粒子在極板間的運(yùn)動(dòng)形態(tài)．注意電壓的周期性與粒子運(yùn)動(dòng)周期性的對(duì)應(yīng)關(guān)系．