Question

在豎直平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R的光滑圓環(huán)軌道，一個(gè)質(zhì)量為m的小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)的速率是v_C=

4gR 5

，則下列說(shuō)法中正確的是（　　）

• A．此小球的最大速率是

  6

  v_C
• B．小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是

  4

  5

  mg
• C．小球在任一直徑兩端點(diǎn)上的動(dòng)能之和相等
• D．小球沿圓軌道繞行一周所用的時(shí)間小于π

  5R g

Answer 1

分析：因?yàn)閳A環(huán)軌道是光滑的，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒，可以求得在最低點(diǎn)時(shí)的最大速度；
對(duì)物體受力分析，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式可以求得對(duì)軌道的作用力，由周期公式可以知道物體運(yùn)動(dòng)的周期．

解答：解：A、速度最大的點(diǎn)應(yīng)該是最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理：

1

2

mV²-

1

2

mVc²=2mgR，解得V=

24gR 5

=

6

Vc，所以A正確．
B、在C點(diǎn)有：mg-T=m

V 2 c

R

，得T=

1

5

mg，所以B錯(cuò)誤．
C、整個(gè)過(guò)程中機(jī)械能守恒，在任一直徑兩端點(diǎn)上的點(diǎn)，它們的高度之和都是2R，即它們的重力勢(shì)能的和相等，由于總的機(jī)械能守恒，所以它們的動(dòng)能之和也相等，所以C正確．
D、由T=

2πR

V

，當(dāng)速度最小時(shí)，代入計(jì)算可得T=π

5R g

，之后小球的速度在變大，所以T要減小，所以T＜π

5R g

，所以D正確．
故選ACD．

點(diǎn)評(píng)：小球穿在圓環(huán)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，屬于桿的模型，在最高點(diǎn)時(shí)速度最小，向心力最小，最低點(diǎn)時(shí)速度最大，向心力最大，由機(jī)械能守恒可以求它們之間的關(guān)系．