Question

人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)時，既具有動能又具有引力勢能（引力勢能實際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡略地說此勢能是人造衛(wèi)星所具有的）．設(shè)地球的質(zhì)量為M，以衛(wèi)星離地?zé)o限遠(yuǎn)處時的引力勢能為零，則質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時的引力勢能為（G為萬有引力常量）．
（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星所具有的機(jī)械能的絕對值恰好等于其動能．
（2）當(dāng)物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運(yùn)動的人造衛(wèi)星，這個速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示．用R表示地球的半徑，M表示地球的質(zhì)量，G表示萬有引力常量．試寫出第二宇宙速度的表達(dá)式．
（3）設(shè)第一宇宙速度為v₁，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）人造衛(wèi)星機(jī)械能守恒，由萬有引力提供向心力公式，求出關(guān)于速度的表達(dá)式，再根據(jù)動能的具體形式進(jìn)行代換，求出動能，動能加上此時的引力勢能即為機(jī)械能，將機(jī)械能的絕對值與動能進(jìn)行比較即可．
（2）第二宇宙速度為衛(wèi)星脫離地球束縛的最小速度，即衛(wèi)星在地表處動能剛好等于此處勢能時便可脫離地球．
（3）當(dāng)衛(wèi)星繞地球附近做勻速圓周運(yùn)動時的速度，即為第一宇宙速度，由萬有引力和向心力結(jié)合得到第一宇宙速度，即可得證．
解答：解：（1）設(shè)衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運(yùn)動的速度為v，地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m．有萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力：
所以，人造衛(wèi)星的動能：
衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢能為：
所以衛(wèi)星具有的引力勢能為：
所以：
（2）設(shè)物體在地于表面的速度為v₂，當(dāng)它脫離地球引力時r→∞，此時速度為零，由機(jī)械能守恒定律得：
解得：
（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運(yùn)行的速度，故有：
得：
答：
（1）證明過程如上所述；
（2）第二宇宙速度的表達(dá)式是．
（3）證明過程如上所述．
點(diǎn)評：此題是機(jī)械能守恒在天體中的運(yùn)動問題，要充分利用萬有引力提供向心力的條件，并且選無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)時，地球表面處勢能最大，當(dāng)動能大于或等于地球表面勢能時，衛(wèi)星就能脫離地球的吸引．