Question

（2013?嘉興一模）如圖（a）的輪軸，它可以繞垂直于紙面的光滑固定水平軸0轉(zhuǎn)動．輪上繞有輕質(zhì)柔軟細線，線的一端系一重物，另一端系一質(zhì)量為m的金屬桿．在豎直平 面內(nèi)有間距為L的足夠
長的平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電 阻，其余電阻不計，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與導(dǎo)軌平面垂直．開始時金屬桿置于 導(dǎo)軌下端，將質(zhì)量為M的重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降．運 動過程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直且 接觸良好，忽略所有摩擦．

（1）重物勻速下降的速度V的大小是多少？
（2）對一定的磁感應(yīng)強度B，重物的質(zhì)量M取不同的值，測出相應(yīng)的 重物做勻速運動時的速度，可得 出v-M實驗圖線．圖（b）中 畫出了磁感應(yīng)強度分別為B₁和B₂時的兩條實驗圖線，試根據(jù)實驗結(jié)果計算B₁和B₂的比值．
（3）若M從靜止到勻速的過程中一目下降的高度為h，求這一過程中R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）重物勻速下降時，金屬桿勻速上升，合力為零．分析金屬桿的受力情況，由F=BIL、I=

E

R

、E=BLv結(jié)合推導(dǎo)出安培力的表達式，即可由平衡條件求出重物勻速下降的速度v；
（2）根據(jù)第1題v的表達式，分析v-M圖象的斜率，結(jié)合圖象求出斜率，即可得到B₁和B₂的比值．
（2）若M從靜止到勻速的過程中下降高度h的過程中，M的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢能、系統(tǒng)的動能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答：解：（1）金屬桿達到勻速運動時，受繩子拉力F、金屬桿的重力mg、向下的安培力F_A．
則：F=F_A+mg  ①
其中 F=Mg     ②
又對金屬桿有：安培力F_A=BIL，感應(yīng)電流I=

E

R

，感應(yīng)電動勢E=BLv
則得 F_A=

B2L2v

R

    ③
所以由①②③得  v=

(M-m)gR

B2L2

  ④
（2）由④式可得v-M的函數(shù)關(guān)系式為
  v=

gR

B2L2

M-

mgR

B2L2

結(jié)合圖線可知，斜率
  k=

gR

B2L2

          
所以
k₁=

16-0

12-2

m?s^-1/kg=1.6m?s^-1/kg    
k₂=

9-0

12-2

=m?s^-1/kg=0.9m?s^-1/kg 
故：

B1

B2

=

K2 K1

=

3

4

（3）由能量關(guān)系，可得R上產(chǎn)生的焦耳熱為
  Q=（M-m）gh-

1

2

（M+m）v²
將v代入可得：
 Q=（M-m）g[h-

(M2-m2)gR2

2B4L4

]
答：
（1）重物勻速下降的速度v的大小是

(M-m)gR

B2L2

．      
（2）B₁和B₂的比值為3：4．
（3）這一過程中R上產(chǎn)生的焦耳熱為（M-m）g[h-

(M2-m2)gR2

2B4L4

]．

點評：本題中運用F=BIL、I=

E

R

、E=BLv推導(dǎo)安培力的表達式是求解的關(guān)鍵步驟，再運用數(shù)學(xué)知識分析圖象的斜率，得到B₁和B₂的比值，中等難度．