Question

（2008?濟寧模擬）如圖甲所示，在同一豎直平面內有兩個正對著的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離，虛線沿豎直方向．一個質量為m的小球能在其間運動，今在最高點與最低點各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來，當軌道距離變化時，測得兩點壓力差△F_N與距離x關系圖象如圖乙所示，g取10m/s²，軌道半徑為R，不計空氣阻力．求：
（1）小球在最高點與最低點對軌道壓力差△F_N與距離x的關系式（用題中所給字母表示）．
（2）根據(jù)圖象提供的信息，確定小球的質量為多少？
（3）若小球在最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x的最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由向心力公式可得出AB兩點時的壓力，則可求得壓力之差的表達式；
（2）由得出的壓力之差的表達式，結合圖象可以得出物體質量及軌道半徑；
（3）由機械能守恒定律及豎直面內的圓周運動臨界值可求得x的最大值．

解答：解：（1）小球由最高點到最低點，由機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 B

=mg(2R+x)+

1

2

m

v

2 A

小球在B點時，由牛頓第二定律得 FN1-mg=m

v 2 B

R

小球在A點時，由牛頓第二定律得 FN2+mg=m

v 2 A

R

化簡解得兩點的壓力差為 △FN=FN1-FN2=6mg+

2mgx

R

（2）由圖象得截距 6mg=6N                                           
解得m=0.1 kg                                                           
（3）因為圖線的斜率 k=

2mg

R

=1
所以 R=2 m                                                             
小球在A點不脫離軌道的條件為 vA≥

Rg

化簡解得x的最大值為 x_m=15 m     
答：（1）小球在最高點與最低點對軌道壓力差△F_N與距離x的關系式為△FN=FN1-FN2=6mg+

2mgx

R

；
（2）根據(jù)圖象提供的信息，確定小球的質量為0.1kg；
（3）若小球在最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x的最大值為15m．

點評：機械能守恒與圓周運動的結合為常見題型，在解題時要注意臨界條件的確定，并能正確選擇機械能守恒列式求解．