Question

如圖所示，水平軌道上，輕彈簧左端固定，自然狀態(tài)時(shí)右端位于P點(diǎn)．現(xiàn)用一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮后釋放，物塊經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度v₀=18m/s，經(jīng)過(guò)水平軌道右端Q點(diǎn)后恰好沿半圓軌道的切線進(jìn)入豎直固定的圓軌道，最后滑上質(zhì)量M=0.9kg的長(zhǎng)木板（木板足夠長(zhǎng)，物塊滑上去不會(huì)從木板上掉下來(lái)）．已知PQ間的距離l=1m，豎直半圓軌道光滑且半徑R=1m，物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)?₁=0.15，與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)?₂=0.2，木板與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)?₃=0.01，取g=10m/s²．
（1）判斷物塊經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)后能否沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)；
（2）求木板滑行的最大距離x．

Answer 1

（1）物塊在PQ上運(yùn)動(dòng)的加速度
a₁=-?₁g=-1.5m/s² 
進(jìn)入圓周軌道時(shí)的速度為v
v²-v₀²=2a₁l 
得v²=v₀²+2a₁l=321 m²/s²
設(shè)物塊剛離開(kāi)Q點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)物塊的壓力為F_N，
根據(jù)牛頓定律，有F_N+mg=m

v2

R

F_N=m

v2

R

-mg=31.1N＞0
故物塊能沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)
（2）物塊滑上木板時(shí)的速度為v₁
根據(jù)機(jī)械能守恒有

1

2

mv²+mg?2R=

1

2

mv₁²
得v₁=19m/s
物塊滑上木板時(shí)的加速度為a₂
根據(jù)牛頓第二定律有
a₂=-?₂g=-2m/s²
木板的加速度位a₃
?₂mg-?₃（m+M）g=Ma₃
a3=

μ2mg-μ3(M+m)g

M

=

1

9

m/s²
設(shè)物塊滑上木板經(jīng)過(guò)時(shí)間t二者共速，
v₁+a₂t=a₃t  得t=9s
這時(shí)木板的位移s₁=

1

2

a₃t²=4.5m
它們的共同速度v₂=a₃t=1m/s
物塊和木板一起減速的加速度a₄=-?₃g=-0.1m/s²
它們減速運(yùn)動(dòng)的位移s₂=

-v22

2a4

=5m
x=s₁+s₂=9.5m 
答：（1）物塊能沿圓周軌道運(yùn)動(dòng)；
（2）木板滑行的最大距離x為9.5m．