Question

（20分）求出厚透鏡對兩個(gè)不同波長有同一焦距的條件，并就不同類型的透鏡討論可行性。

Answer 1

解析：我們必須知道厚透鏡的性質(zhì)。厚透鏡由下述數(shù)據(jù)表征：球形表面的半徑r₁和r₂，厚度d和折射率n（如圖4所示）。焦距f＝B F由下式給出

焦距是從主點(diǎn)B算起的。B點(diǎn)離表面的距離為

　　上述公式對任意厚度的厚透鏡都成立，但只對近軸光線才給出滿意的結(jié)果，因?yàn)槭窃谝欢ǖ慕�似下得到的�?/p>

　　光被透鏡色散。透鏡對波長λ_a的折射率是n _a，對波長λ _b的折射率是n _b。按折射率的冪次整理焦距公式，得

f（r₁＋r₂－d）n²＋[2fd－f（r₁ ＋r₂）－r₁r ₂]n－f d＝0

這是一個(gè)二次方程。給定一個(gè)f值，應(yīng)有兩個(gè)n值，因此，我們的問題可望解決。

　　先后以n _a和n _b代入方程，并令其相等：

結(jié)果得出

　　如果半徑r₁、r₂與厚度d滿足這一條件，則對兩個(gè)不同的波長，即對兩個(gè)不同的折射率來說，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘積n _a?n _b在起作用，而不是色散（n _b－n _a）。因?yàn)檎凵渎蚀笥冢�，于是括號�?nèi)的數(shù)值小于１，說明半徑之和小于鏡厚。這意味著透鏡是相當(dāng)厚的。

　　結(jié)果討論：首先透鏡不能是平凸或平凹的，因?yàn)檫@種透鏡有無限大的半徑。其次，r₁和r₂之一為負(fù)的發(fā)散透鏡是許可的，但不能是雙凹透鏡。

　　如果要求的不是f而是（f－h）對兩個(gè)折射率有相同的值（注：即要求消除焦點(diǎn)色差），實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)也是可能的，但卻是一個(gè)復(fù)雜得多的問題。