Question

【題目】科技館有一套兒童喜愛的機械裝置，其結(jié)構(gòu)簡圖如下：傳送帶部分水平，其長度，傳送帶以4m/s的速度順時針勻速轉(zhuǎn)動，大皮帶輪半徑，其下端點與圓弧軌道的點在同一水平線上，點為圓弧軌道的最低點，圓弧對應的圓心角且圓弧軌道的半徑，點和傾斜傳送帶的下端點平滑連接，傾斜傳送帶長為，其傾角。某同學將一質(zhì)量為0．5kg且可以視為質(zhì)點的物塊靜止放在水平傳送帶左端處，物塊經(jīng)過點后恰能無碰撞地從點進入圓弧軌道部分，當經(jīng)過點時，圓弧給物塊的摩擦力，然后物塊滑上傾斜傳送帶。物塊與圓弧的動摩擦因數(shù)未知，與其它接觸面間的動摩擦因數(shù)均為，重力加速度，，，，，求：

（1）物塊由到所經(jīng)歷的時間；

（2）弧對應的圓心角為多少；

（3）若要物塊能被送到端，傾斜傳送帶順時針運轉(zhuǎn)的速度應滿足的條件及物塊從端到端所用時間的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）0.9s（2）45°（3）傳送帶的速度應滿足：，物體運動的時間范圍是：

【解析】

（1）放在水平傳送帶上的物體受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛頓第二定律得：

所以：

物體加速到4m/s的時間：

在加速階段的位移：

物體做勻速直線運動的時間：

物塊由到所經(jīng)歷的時間：

；

（2）若物體能在點恰好離開傳送帶做平拋運動，則滿足：

所以：

所以物體能夠在點離開傳送帶做平拋運動，平拋運動的時間：

到達點時物體沿豎直方向的分速度：

到達點時物體的速度與水平方向的夾角：

所以：

如圖

即弧對應的圓心角為45°；

（3）當經(jīng)過點時，圓弧給物塊的摩擦力，所以物體在點受到的支持力：

物體在點時，支持力與重力的分力提供向心力得：

代入數(shù)據(jù)得：

物體在傾斜的傳送帶上受到重力、支持力和滑動摩擦力的作用，滑動摩擦力：

重力沿斜面向下的分力：

可知物體不可能相對于傳送帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運動，物體恰好到達點時的速度為0。

Ⅰ、若傳送帶的速度大于等于物體在點的速度，則物體受到的摩擦力的方向向上，物體一直以不變的加速度向上做減速運動；此時：

，

物體的位移為：

即：

，

代入數(shù)據(jù)解得：

，（或，該時間不合題意，要舍去）

Ⅱ、若傳送帶的速度小于物體在點的速度，則物體先相對于傳送帶向上運動，受到的摩擦力的方向向下；當物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物體繼續(xù)向上做減速運動，加速度的大小發(fā)生變化。

設物體恰好能到達點時，傳送帶的速度是，且，物體到達點的速度為0。

物體的速度大于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力的方向向下，此時：

，

則：

物體的速度小于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力的方向向上，則：

物體位移為：

可得：

物體從點運動到點的總時間：

綜合以上的分析可知，若要物體能夠到達點，傳送帶的速度應滿足：，物體運動的時間范圍是：