Question

（2011?淮南一模）為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差；
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件．
（3）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可解得落到A點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度v_y與h的關(guān)系，根據(jù)豎直方向速度v_y與水平方向速度v_x的夾角之間的關(guān)系，可以解得h．
（2）要使小物塊不離開軌道并且能夠滑回傾斜軌道AB，則小物體沿圓軌道上升的最大高度不能超過圓心，結(jié)合動(dòng)能定律列式求解．
（3）現(xiàn)根據(jù)第一問中求得到達(dá)A的速度，從A到B運(yùn)用動(dòng)能定理列方程，從B到環(huán)的最高點(diǎn)運(yùn)用機(jī)械能守恒列方程，再根據(jù)到達(dá)最高點(diǎn)的臨界條件m

v 2 P

R

≥mg，聯(lián)立方程組求解R．

解答：解：（1）設(shè)從拋出點(diǎn)到A點(diǎn)的高度差為h，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：

v

2 y

=2gh
解得vy=

2gh

且 

vy

v0

=tan37°
代入數(shù)據(jù)解得h=0.45m  
（2）要使小物塊不離開軌道并且能夠滑回傾斜軌道AB，則小物體沿圓軌道上升的最大高度不能超過圓心，即：

1

2

m

v

2 B

≤mgR′
解得R′≥1.65m 
（3）小物體到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度：vA=

v 2 0 + v 2 y

從A到B，由動(dòng)能定理：
mgLsin37°-μmgcos37°×L=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

小物體從B到環(huán)最高點(diǎn)機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 P

+mg×2R
在最高點(diǎn)有：m

v 2 P

R

≥mg
由④⑤⑥⑦解得 R≤0.66m．
答：（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差為0.45m；
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)大于等于1.65m．
（3）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，則豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)小于等于0.66m．

點(diǎn)評(píng)：此題要求熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，屬于難題．