Question

如圖所示，有一內(nèi)表面光滑的金屬盒，底面長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.2m，質(zhì)量為m₁=1kg，放在水平面上，與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，在盒內(nèi)最右端放一半徑為r=0.1m的光滑金屬球，質(zhì)量為m₂=1kg，現(xiàn)在盒的左端給盒施加一個(gè)水平?jīng)_量I=3N?s，（盒壁厚度，球與盒發(fā)生碰撞的時(shí)間和能量損失均忽略不計(jì)）．g取10m/s²，求：
（1）金屬盒能在地面上運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)？
（2）金屬盒從開始運(yùn)動(dòng)到最后靜止所經(jīng)歷的時(shí)間多長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)量定理求出金屬盒獲得的速度，金屬盒所受摩擦力為F=μ（m₁+m₂）g=4N，金屬盒與金屬球之間的碰撞沒有能量損失，且金屬盒和金屬球的最終速度都為0，以金屬盒和金屬球?yàn)檠芯繉?duì)象，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求解；
（2）球與盒發(fā)生碰撞的時(shí)間和能量損失均忽略不計(jì)，即發(fā)生了彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可求出碰后兩者的速度，由于質(zhì)量相等，每碰撞一次，兩者就會(huì)交換速度，逐次分析碰撞間隙盒前進(jìn)的位移，分析能發(fā)生幾次碰撞，再根據(jù)動(dòng)量定理求時(shí)間．

解答：解：（1）由于沖量作用，m₁獲得的速度為v=

I

m1

=3m/s，
金屬盒所受摩擦力為F=μ（m₁+m₂）g=4N，由于金屬盒與金屬球之間的碰撞沒有能量損失，且金屬盒和金屬球的最終速度都為0，以金屬盒和金屬球?yàn)檠芯繉?duì)象，由動(dòng)能定理得：-Fs=0-

1

2

m1v2
解得：s=1.125m
（2）因r=0.1m，則當(dāng)盒前進(jìn)s₁=1m時(shí)與球發(fā)生碰撞，設(shè)碰前盒的速度為v₁，碰后速度為v₁′，球碰后速度為v₂，則對(duì)盒，應(yīng)用動(dòng)能定理：
-Fs₁=

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m1v2，解得v₁=1m/s
由于碰撞中動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，有：
   m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂，
 

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1

v

′2 1

+

1

2

m2

v

2 2

聯(lián)立以上方程得：v₁′=0，v₂=1m/s．
當(dāng)球前進(jìn)1m時(shí)與盒發(fā)生第二次碰撞，碰撞前球的速度為1m/s，盒子的速度為0，碰撞后球的速度為0，盒子的速度變?yōu)関₂=1m/s，
以金屬盒為研究對(duì)象，利用動(dòng)能定理得：
-Fs₂=0-

1

2

m1

v

2 2

，解得：s₂=0.125m．
所以不會(huì)再與球碰，
則盒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間可由動(dòng)量定理給出：設(shè)盒子前進(jìn)s₁=1m所用時(shí)間為t₁，前進(jìn)s₂=0.125m所用時(shí)間為t₂，則：
-Ft₁=m₁v₁-m₁v，
-Ft₂=0-m₁v₂，且v₁=v₂=1m/s
代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.5s，t₂=0.25s
在盒兩次運(yùn)動(dòng)之間還有一段時(shí)間t₃為小球在運(yùn)動(dòng)，t₃=s₁/v₂=1s
則金屬盒從開始運(yùn)動(dòng)到最后靜止所經(jīng)歷的時(shí)間t=t₁+t₂+t₃=1.75s
答：
（1）金屬盒能在地面上運(yùn)動(dòng)1.125m．
（2）金屬盒從開始運(yùn)動(dòng)到最后靜止所經(jīng)歷的時(shí)間是1.75s．

點(diǎn)評(píng)：解答本題要知道碰撞過(guò)程中動(dòng)量、機(jī)械能守恒，且m₁=m₂，則碰撞時(shí)交換速度，且金屬盒的初動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，難度較大．