Question

湯姆孫測定電子比荷（電子的電荷量與質(zhì)量之比）的實驗裝置如圖所示．真空玻璃管內(nèi)，陰極K發(fā)出的電子經(jīng)加速后，穿過小孔A、C沿中心軸線OP₁進(jìn)入到兩塊水平正對放置的極板D₁、D₂間的區(qū)域，射出后到達(dá)右端的熒光屏上形成光點．若極板D₁、D₂間無電壓，電子將打在熒光屏上的中心P₁點；若在極板間施加偏轉(zhuǎn)電壓U，則電子將打P₂點，P₂與P₁點的豎直間距為b，水平間距可忽略不計．若再在極板間施加一個方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），則電子在熒光屏上產(chǎn)生的光點又回到P₁點．已知極板的長度為L₁，極板間的距離為d，極板右端到熒光屏間的距離為L₂．忽略電子的重力及電子間的相互作用．
（1）求電子進(jìn)入極板D₁、D₂間區(qū)域時速度的大��；
（2）推導(dǎo)出電子的比荷的表達(dá)式；
（3）若去掉極板D₁、D₂間的電壓，只保留勻強(qiáng)磁場B，電子通過極板間的磁場區(qū)域的軌跡為一個半徑為r的圓弧，陰極射線射出極板后落在熒光屏上的P₃點．不計P₃與P₁點的水平間距，求P₃與P₁點的豎直間距y．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)電子在極板D₁、D₂間受到電場力與洛倫茲力平衡時，做勻速直線運動，受力平衡，由平衡條件可求出電子運動速度．
（2）極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場時，電子在電場中做類平拋運動，將運動分解成沿電場強(qiáng)度方向與垂直電場強(qiáng)度方向，然后由牛頓第二定律和運動學(xué)公式可求出偏轉(zhuǎn)距離和離開電場時的速度．電子離開電場后，做勻速直線運動，從而可以求出偏轉(zhuǎn)距離．
（3）極板D₁、D₂間僅有勻強(qiáng)磁場時，電子做勻速圓周運動，射出磁場后電子做勻速直線運動，畫出電子運動的軌跡，根據(jù)幾何知識求解y．

解答：解：（1）電子在極板D₁、D₂間電場力與洛倫茲力的作用下沿中心軸線運動，即受力平衡，設(shè)電子的進(jìn)入極板間時的速度為v．
由平衡條件有 evB=eE
兩極板間電場強(qiáng)度 E=

U

d

解得 v=

U

Bd

（2）極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場時，電子以速度v進(jìn)入后，水平方向做勻速運動，在電場內(nèi)的運動時間 t1=

L1

v

電子在豎直方向做勻加速運動，設(shè)其加速度為a．
由牛頓第二定律有 F=ma
解得加速度 a=

eU

md

電子射出極板時豎直方向的偏轉(zhuǎn)距離 y1=

1

2

a

t

2 1

=

eU L 2 1

2mdv2

電子射出極板時豎直方向的分速度為 v_y=at₁=

eUL1

mdv

電子離開極板間電場后做勻速直線運動，經(jīng)時間t₂到達(dá)熒光屏，t₂=

L2

v

電子在t₂時間在豎直方向運動的距離 y₂=v_yt₂=

eUL1L2

mdv2

這樣，電子在豎直方向上的總偏移距離 b=y₁+y₂
解得電子比荷 

e

m

=

2Ub

L1(L1+2L2)dB2

（3）極板D₁、D₂間僅有勻強(qiáng)磁場時，電子做勻速圓周運動，射出磁場后電子做勻速直線運動，如答圖所示．
則 tanθ=

L1

r2- L 2 1

穿出磁場后在豎直方向上移動的距離 y3=L2tanθ=

L1L2

r2- L 2 1

則 y=r-

r2- L 2 1

+y3
解得y=r-

r2- L 2 1

+

L1L2

r2- L 2 1

答：（1）電子進(jìn)入極板D₁、D₂間區(qū)域時速度的大小為

U

Bd

；（2）電子的比荷的表達(dá)式為

e

m

=

2Ub

L1(L1+2L2)dB2

；（3）P₃與P₁點的豎直間距y為r-

r2- L 2 1

+

L1L2

r2- L 2 1

．

點評：本題是組合場問題：對速度選擇器，根據(jù)平衡條件研究；對于類平拋運動的處理，通常采用運動的分解法律：將運動分解成相互垂直的兩方向運動，將一個復(fù)雜的曲線運動分解成兩個簡單的直線運動，并用牛頓第二定律和運動學(xué)公式來求解．對于帶電粒子在磁場中的圓周運動，要正確畫出軌跡，運用幾何知識進(jìn)行解題．