Question

（1）在直角坐標(biāo)系xoy中，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直xoy平面指向紙面內(nèi)，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為（R，0），如圖1所示．有一個(gè)質(zhì)量為m帶電量為-q的離子，由靜止經(jīng)勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后從點(diǎn)（0，

R

2

）沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，離子從射入到射出磁場(chǎng)通過(guò)了該磁場(chǎng)的最大距離，不計(jì)重力影響．求離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間t．
（2）如圖2所示，現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為e、初速度不計(jì)的電子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，垂直于磁場(chǎng)射入寬度為L(zhǎng)的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若電子束的偏轉(zhuǎn)角為θ，求加速電場(chǎng)的電勢(shì)差U是多少？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所以由幾何關(guān)系可確定運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑與已知長(zhǎng)度的關(guān)系，從而確定圓磁場(chǎng)的圓心，并能算出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）電子在電場(chǎng)中加速后根據(jù)動(dòng)能定理列式；電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，先根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式；最后聯(lián)立求解．

解答：解：（1）如圖所示，設(shè)離子從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)的速度為v．依題意，在磁場(chǎng)中通過(guò)最大距離應(yīng)是過(guò)M點(diǎn)的直徑MRN．由于離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)受洛倫茲力作用，運(yùn)動(dòng)軌跡是以MRN為弦長(zhǎng)的圓弧并從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)．

設(shè)離子從M點(diǎn)入射時(shí)速度方向與MR的夾角為α，α=arcsin

R 2

R

=

π

6

．
 離子在磁場(chǎng)力作用下，速度方向偏轉(zhuǎn)：2α=

π

3

．
設(shè)離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則：qvB=

mv2

r

．
離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πr

v

=

2πm

qB

．
所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

T

6

=

1

6

×

2πm

qB

=

πm

3qB

．
（2）設(shè)電子被加速電場(chǎng)加速后速度為v，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

據(jù)動(dòng)能定理有：eU=

1

2

mv2．
設(shè)粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)
據(jù)牛頓第二定律有：evB=m

v2

R

．
據(jù)幾何關(guān)系有：sinθ=

L

R

．
由以上各式解得：U=

eB2L2

2msin2θ

．
答：（1）離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間為

πm

3qB

．
（2）加速電場(chǎng)的電勢(shì)差U是

eB2L2

2msin2θ

．

點(diǎn)評(píng)：處理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵能夠作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，會(huì)確定圓心和半徑，通過(guò)圓心角的大小，結(jié)合t=

θ

2π

T求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．