Question

如圖所示，一根均質(zhì)繩質(zhì)量為M，其兩端固定在天花板上的A、B兩點(diǎn)，在繩的中點(diǎn)懸掛一重物，質(zhì)量為m，懸掛重物的繩PQ質(zhì)量不計．設(shè)α、β分別為繩子端點(diǎn)和中點(diǎn)處繩子的切線方向與豎直方向的夾角，則

tanα

tanβ

=

 

．

Answer 1

分析：以整體為研究對象，根據(jù)平衡條件分析端點(diǎn)處對繩子的拉力與總重力的關(guān)系式；對左半邊繩子研究，得到端點(diǎn)和中點(diǎn)繩子的拉力的關(guān)系式；再采用比例法求解．

解答：解：設(shè)繩子端點(diǎn)處和中點(diǎn)處繩子張力大小分別為F₁、F₂．對整體研究，分析受力，如上圖所示，根據(jù)平衡條件得：F₁cosα=

1

2

（M+m）g…①
對左半邊繩子研究得：
F₁cosα=F₂cosβ+

1

2

Mg…②
F₁sinα=F₂sinβ…③
由①②得到：F₂cosβ=

1

2

mg…④
則由③：①得：tanα=

2F2sinβ

(M+m)g

…⑤
由③：④得：tanβ=

2F1sinα

mg

…⑥
所以由③⑤⑥聯(lián)立得：

tanα

tanβ

=

m

M+m

故答案為：

m

M+m

點(diǎn)評：本題是力平衡問題，難點(diǎn)存在如何選擇研究對象和如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識變形求解．