Question

如圖所示，一質(zhì)量為m的小球C用輕繩懸掛在O點．小球下方有一質(zhì)量為2m的平板車B靜止在光滑水平地面上，小球的位置比車板略高．一質(zhì)量為m的物塊A以大小為v₀的初速度向左滑上平板車，此時A、C間的距離為d．一段時間后，物塊A與小球C發(fā)生碰撞，碰撞時兩者的速度互換，且碰撞時間極短．已知物塊與平板車間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．
（1）若A碰C之前物塊與平板車已達(dá)共同速度，要使碰后小球能繞O點做完整的圓周運(yùn)動，輕繩的長度l應(yīng)滿足什么條件？
（2）若A碰C之前物塊與平板車已達(dá)共同速度，求d和v₀之間滿足的關(guān)系和碰后物塊與平板車最后共同的速度v．
（3）若A碰C之前物塊與平板車未達(dá)共同速度，求碰后物塊與平板車最后共同的速度v與v₀和d的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）A碰C前與平板車速度達(dá)到相等，由動量守恒定律列出等式，A碰C后，C開始做完整的圓周運(yùn)動，由機(jī)械能守恒定律求解．
（2）A碰C前與平板車速度達(dá)到相等，由動能定理列出等式求解．
（3）A碰C前與平板車速度未達(dá)到相等，在這個過程中A一直做減速運(yùn)動，由動能定理列出等式，在A與C碰前、后，對A、B組成的系統(tǒng)由動量守恒定律求解．

解答：解：（1）A碰C前與平板車速度達(dá)到相等，由動量守恒定律得
mv₀=（m+2m）v′
A碰C后，C以速度v′開始做完整的圓周運(yùn)動，由機(jī)械能守恒定律得

1

2

mv′²=mg?2l+

1

2

mv″²
小球經(jīng)過最高點時，有
mg≤

mv″2

l

解得l≤

v 2 0

45 g

（2）A碰C前與平板車速度達(dá)到相等，設(shè)整個過程A的位移是x，
由動能定理得：μmgx=

1

2

m（

v

2 0

-v′²）
將v′=

v0

3

代入解得
x=

4v 2 0

9μg

滿足的條件是d≥

4v 2 0

9μg

A碰C后，對A、B組成的系統(tǒng)由動量守恒定律得
2mv′=（m+2m）v
解得物塊與平板車的共同速度為v=

2v0

9

（3）A碰C前與平板車速度未達(dá)到相等，在這個過程中A一直做減速運(yùn)動，
由動能定理得
μmgd=

1

2

m（

v

2 0

-

v

2 A

）
在A與C碰前、后，對A、B組成的系統(tǒng)由動量守恒定律得
mv₀=mv_A+2mv_B
2mv_B=（m+2m）v
解得物塊與平板車的共同速度為
v=

1

3

（v₀-

v 2 0 -2μgd

） 方向水平向左
相應(yīng)的條件是d＜

4v 2 0

9μg

答：（1）若A碰C之前物塊與平板車已達(dá)共同速度，要使碰后小球能繞O點做完整的圓周運(yùn)動，輕繩的長度l應(yīng)滿足l≤

v 2 0

5g

．
（2）若A碰C之前物塊與平板車已達(dá)共同速度，d和v₀之間滿足的關(guān)系是d≥

4v 2 0

9μg

，碰后物塊與平板車最后共同的速度v=

2v0

9

．
（3）若A碰C之前物塊與平板車未達(dá)共同速度，碰后物塊與平板車最后共同的速度v=

1

3

（v₀-

v 2 0 -2μgd

） 方向水平向左，相應(yīng)的條件是d＜

4v 2 0

9μg

．

點評：該題在不同條件下多次運(yùn)用系統(tǒng)動量守恒定律和動能定理，關(guān)鍵要分析物體的運(yùn)動過程，難度較大．