Question

如圖甲所示，帶正電粒子以水平速度v₀從平行金屬板MN間中線連續(xù)射入電場中。MN板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓u_MN，兩板間電場可看作是均勻的，且兩板外無電場。緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B，分界線為CD，EF為屏幕。金屬板間距為d，長度為l，磁場B的寬度為d。已知：B=5×10^-3T，l = d =0.2m，每個(gè)帶正電粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷為q/m=10⁸C/T，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過電場區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場可視作是恒定不變的。

試求：

（1）帶電粒子進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑？

（2）帶電粒子射出電場時(shí)的最大速度？

（3）帶電粒子打在屏幕EF上的范圍？

Answer 1

（1）0.2m （2）（3）0.38m

解析:

（1）t=0時(shí)刻射入電場的帶電粒子粒子不被加速，進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小。

粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)                ---------2分

則帶電粒子進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑

    --------2分

其運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖中曲線Ⅰ所示。

（2）設(shè)兩板間電壓為U₁，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場，則有

                          ------2分

     代入數(shù)據(jù)，解得   U₁=100V                ------2分

    在電壓低于100V時(shí)，帶電粒子才能從兩板間射出電場，電壓高于100V時(shí)，帶電粒子打在極板上，不能從兩板間射出。帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場時(shí)，速度最大，設(shè)最大速度為，則有

                          -----2分

     解得       -------2分

（3）由第（1）問計(jì)算可知，t=0時(shí)刻射入電場的粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

 ，徑跡恰與屏幕相切，設(shè)切點(diǎn)為E，E為帶電粒子打在屏幕上的最高點(diǎn)，則    --------2分

   帶電粒子射出電場時(shí)的速度最大，在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，打在屏幕上的位置最低。設(shè)帶電粒子以最大速度射出電場進(jìn)入磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，打在屏幕上的位置為F，運(yùn)動(dòng)徑跡如圖中曲線Ⅱ所示。

                   -------2分

則帶電粒子進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑

--------2分

   由數(shù)學(xué)知識(shí)可得運(yùn)動(dòng)徑跡的圓心必落在屏幕上，如圖中Q點(diǎn)所示，并且Q點(diǎn)必與M板在同一水平線上。   則    -------2分

      帶電粒子打在屏幕EF上的范圍為------2分