Question

（2012?安徽一模）如圖所示，AOB是游樂場(chǎng)中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi)，由兩個(gè)半徑都是R的

1

4

圓周連接而成，它們的圓心O₁，O₂與兩圓弧的連接點(diǎn)O在同一豎直線上．O₂B沿水池的水面，O₂和B兩點(diǎn)位于同一水平面上．一個(gè)質(zhì)量為m的小滑塊可由弧AO的任意位置從靜止開始滑下，不計(jì)一切摩擦．
（1）假設(shè)小滑塊由A點(diǎn)靜止下滑，求小滑塊滑到O點(diǎn)時(shí)對(duì)O點(diǎn)的壓力；
（2）凡能在O點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，其落水點(diǎn)到O₂的距離如何；
（3）若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個(gè)圓弧上滑過的弧長(zhǎng)相等，則小滑塊開始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧AO上的何處（用該處到O₁點(diǎn)的連線與豎直線的夾角的三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）對(duì)從A到O的運(yùn)動(dòng)過程中運(yùn)用動(dòng)能定理及向心力公式即可解題；
（2）凡能在O點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，離開軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，先求出最小速度，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求解；
（3）如圖所示，設(shè)滑塊出發(fā)點(diǎn)為P₁，離開點(diǎn)為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，設(shè)其為θ，若離開滑道時(shí)的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是

mv2

R

=mgcosθ，結(jié)合機(jī)械能守恒即可求解．

解答：解：（1）從A到O的運(yùn)動(dòng)過程中根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgR=

1

2

mv²    
根據(jù)向心力公式得：
Fn-mg=m

v2

R

      
聯(lián)立得：Fn=3mg  
由牛頓第三定律得：壓力大小為3mg，方向豎直向下．  
（2）從A點(diǎn)下滑的滑塊到O點(diǎn)的速度為

2gR

，設(shè)能脫離軌道的最小速度為v₁
則有：mg=m

v12

R

，得：v₁=

gR

R=

1

2

gt²    X=v_ot            
聯(lián)立得：

2

R≤x≤2R    
（3）如圖所示，設(shè)滑塊出發(fā)點(diǎn)為P₁，離開點(diǎn)為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，
設(shè)其為θ，若離開滑道時(shí)的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是

mv2

R

=mgcosθ
由機(jī)械能守恒  2mgR(1-cosθ)=

1

2

mv2
聯(lián)立解得   cosθ=

4

5

答：（1）小滑塊滑到O點(diǎn)時(shí)對(duì)O點(diǎn)的壓力大小為3mg，方向豎直向下；
（2）凡能在O點(diǎn)脫離滑道的小滑塊，其落水點(diǎn)到O₂的距離范圍為

2

R≤x≤2R；
（3）若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個(gè)圓弧上滑過的弧長(zhǎng)相等，則小滑塊開始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧AO上的cosθ=

4

5

處．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了動(dòng)能定理、向心力公式、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，難度較大．