Question

（2008?廣州一模）如圖所示，豎直平面坐標(biāo)系xOy的第一象限，有垂直：xOy面向外的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小分別為B和E第四象限有垂直xOy為面向里的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)，大小E'=2E 第三象限內(nèi)有一絕緣光滑豎直放置的半徑為R的半圓軌道，軌道最髙點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O相切，最低點(diǎn)與絕緣光滑水平面相切于N．一質(zhì)量為m的帶電小球從y軸上（y＞0）的P點(diǎn)沿工軸正方向進(jìn)入第一象限后做圓周運(yùn)動(dòng)，恰好通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且水平切入半圓軌道并沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，過N點(diǎn)水平進(jìn)入第四象限，并在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)?（已知重力加速度為g）
（1）判斷小球的帶電性質(zhì)并求出其所帶電荷量．
（2）P點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O至少多高？
（3）若該小球以滿足（2）中OP最小值的位置和對(duì)應(yīng)速度進(jìn)入第一象限，通過N點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)時(shí)間t=2

R g

，小球距N點(diǎn)的距離s為多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：帶電小球進(jìn)入正交的電場(chǎng)與磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則重力與電場(chǎng)力平衡，僅由洛倫茲力提供向心力，所以由電場(chǎng)強(qiáng)度方向可確定小球的電性．小球恰能通過軌道最高點(diǎn)，則由重力提供向心力，從而求出最小距離．小球從O到N點(diǎn)僅有重力做功，其機(jī)械能守恒．而進(jìn)入電場(chǎng)后，在x方向小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而y方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．所以由運(yùn)動(dòng)與力關(guān)系可求出到N點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）小球進(jìn)入第一象限正交的電場(chǎng)和磁場(chǎng)后，在垂直磁場(chǎng)的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場(chǎng)力平衡，qE=mg  ①
 得q=

mg

E

   ②
 小球帶正電．
 （2）小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v、軌道半徑為r．
 有：qvB=m

v2

r

  ③
 小球恰能通過半圓軌道的最高點(diǎn)并沿軌道運(yùn)動(dòng)，有：mg=m

v2

R

  ④
 由③④得：r=

m gR

Bq

⑤
 PO的最小距離為：y=2r=2

m gR

Bq

=

2E

B

R g

⑥
 （3）小球由O運(yùn)動(dòng)到N的過程中機(jī)械能守恒：mg?2R+

1

2

mv2=

1

2

mv

2 N

⑦
 由④⑦得：v_N=

4Rg+v2

=

5gR

⑧
 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，小球從N點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域后，在x軸方向以速度v_N做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則沿x軸方向有：x=v_Nt⑨
 沿電場(chǎng)方向有：y=

1

2

at2⑩
 a=

qE′

m

=

2qE

m

=2g?
 t時(shí)刻小球距N點(diǎn)：s=

x2+d2

=6R

點(diǎn)評(píng)：除考查小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型外，還涉及了小球在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的模型．同時(shí)小球在僅受重力下能通過最高點(diǎn)的條件．