Question

為了測(cè)量某一被新發(fā)現(xiàn)的行星的半徑和質(zhì)量，一艘宇宙飛船飛近它的表面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)．飛船在引力作用下進(jìn)入該行星表面附近的圓形軌道，在繞行中做了第一次測(cè)量．繞行數(shù)圈后，經(jīng)制動(dòng)后著陸在該行星上，并進(jìn)行了第二次測(cè)量．依據(jù)測(cè)量的數(shù)據(jù)，就可以求出該星球的半徑和星球的質(zhì)量．已知萬(wàn)有引力恒量為G．飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)器材：
A．一個(gè)精確計(jì)時(shí)裝置B．一個(gè)已知質(zhì)量為m的物體
C．一個(gè)彈簧秤D．一臺(tái)天平（附砝碼）
請(qǐng)根據(jù)題意回答以下問(wèn)題：
a．第一次測(cè)量所選用的實(shí)驗(yàn)器材為

A

，測(cè)量的物理量是

飛船在行星表面運(yùn)動(dòng)的n圈的總時(shí)間t

．
b．第二次測(cè)量所選用的實(shí)驗(yàn)器材為

C

，測(cè)量的物理量是

物體m在該星球表面上受到的重力F

．
c．行星的半徑R=

R=

Ft2

4n2π2m

、質(zhì)量m=

M=

F3t4

16n4π4m3G

．（用已知量和測(cè)出的物理量表示．）

Answer 1

分析：根據(jù)近地飛行時(shí)圍繞半徑近似等于星體半徑，由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力及M=

4

3

πR3ρ知ρ=

3π

GT2

，進(jìn)而知道需要的儀器和需要測(cè)量的物理量；再有GM=gR²知第二次需要的儀器和測(cè)量的物理量；最后結(jié)合各種關(guān)系式進(jìn)行求解．

解答：解：要求出該星球的半徑和星球的質(zhì)量，需要知道星體的密度，若近表面飛行，則圍繞半徑近似等于星體半徑，由ρ=

3π

GT2

知需要用到計(jì)時(shí)裝置測(cè)量飛船在行星表面運(yùn)動(dòng)的n圈的總時(shí)間周期t，T=nt①．
（2）由第一次測(cè)量知道了密度，要求質(zhì)量和半徑，還需要知道半徑和質(zhì)量的關(guān)系，由GM=gR²知飛船著陸在該行星上，進(jìn)行第二次測(cè)量需要彈簧秤，測(cè)量物體m在該星球表面上受到的重力F．
由F=mg②
GM=gR²③
M=

4

3

πR3ρ④
ρ=

3π

GT2

⑤
由①②③④⑤解得
R=

Ft2

4n2π2m

；M=

F3t4

16n4π4m3G

故答案為：A，飛船在行星表面運(yùn)動(dòng)的n圈的總時(shí)間t；  C，物體m在該星球表面上受到的重力F；
R=

Ft2

4n2π2m

、M=

F3t4

16n4π4m3G

．

點(diǎn)評(píng)：此題難度稍大，需要綜合考慮萬(wàn)有引力定律應(yīng)用的兩個(gè)關(guān)系式，并結(jié)合密度公式進(jìn)行解答．