Question

（2013?臺(tái)州模擬）如圖所示．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀的放射源，它向xoy平面內(nèi)的第一象限各個(gè)方向發(fā)射同一種粒子，速度大小都是v₀，粒子的電量為q＞0、質(zhì)量為m．在0≤x，0≤y≤d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E_電=

mv02

2qd

，其中q與m分別為粒子的電量和質(zhì)量；在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期的

1

6

．不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用．求：
（1）粒子剛離開電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，則當(dāng)磁場(chǎng)的ab邊界平移多少距離，恰能保證所有粒子不從ab邊界飛出．求粒子第一次飛入磁場(chǎng)的右邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值和飛出磁場(chǎng)的左邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場(chǎng)中加速過程，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能．
（2）所有粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后半徑相同，周期相同．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的弦最短為磁場(chǎng)寬度d，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

1

6

周期，即對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=60°，畫出軌跡，由幾何知識(shí)得到軌跡半徑．即可由牛頓第二定律求解B．
（3）能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）證沿x軸正方向發(fā)出的粒子不從ab邊界飛出，即可保證所有粒子不從ab邊界飛出．沿x軸正方向發(fā)出的粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正方向成θ=45°．根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理得：qEd=EK-

1

2

m

v

2 0

                       
得：EK=m

v

2 0

；
（2）所有粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速率相同 EK=

1

2

m

v

2

=m

v

2 0

速率為 v=

2

v0            
所有粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后半徑相同，周期相同．                                                 
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的弦最短為磁場(chǎng)寬度d，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

1

6

周期，即對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=60°，如圖①：求得粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后半徑r=d
 qvB=m

v2

r

 解得：B=

2 mv0

qd

；                                                      
（3）保證沿x軸正方向發(fā)出的粒子不從ab邊界飛出，即可保證所有粒子不從ab邊界飛出．
沿x軸正方向發(fā)出的粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸正方向成θ=45°
軌跡如圖③磁場(chǎng)上邊界為a'b'由幾何關(guān)系得：向上擴(kuò)展平移的距離 △y=(d+dsin45°)-d=

2

2

d
沿x軸正方向發(fā)出的粒子第一次飛入磁場(chǎng)的點(diǎn)為右邊界x=v₀t，
  y=d=

vy

2

t，
  v_y=vsin45°=v₀
解得：x=2d；y=d
粒子第一次飛入磁場(chǎng)的右邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值為（2d，d）                          
從坐標(biāo)原點(diǎn)向上發(fā)出的粒子飛出磁場(chǎng)的點(diǎn)為左邊界如圖④得粒子飛出磁場(chǎng)的左邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值：
（-2r，d）即（-2d，d）．                                                  
答：
（1）粒子剛離開電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為mv

2 0

；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

2 mv0

qd

；
（3）粒子第一次飛入磁場(chǎng)的右邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值和飛出磁場(chǎng)的左邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值為（-2r，d）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．