Question

（2013?南京模擬）在水平地面上豎直固定一根內(nèi)壁光滑的圓管，管的半徑R=3.6m（管的內(nèi)徑大小可以忽略），管的出口A在圓心的正上方，入口B與圓心的連線與豎直方向成60°角，如圖所示．現(xiàn)有一只質(zhì)量m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從某點(diǎn)P以一定的初速度水平拋出，恰好從管口B處沿切線方向飛入，小球到達(dá)A時(shí)恰好與管壁無(wú)作用力．取g=10m/s²．求：
（1）小球到達(dá)圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度大��；
（2）小球在管的最低點(diǎn)C時(shí)，管壁對(duì)小球的彈力大小；
（3）小球拋出點(diǎn)P到管口B的水平距離x．

Answer 1

分析：（1）小球到達(dá)A時(shí)恰好與管壁無(wú)作用力，由重力提供向心力，列式可求得小球到達(dá)A點(diǎn)的速度大�。�
（2）小球從管的最低點(diǎn)到最高點(diǎn)A，管子的彈力不做功，其機(jī)械能守恒，列式可求解出瀕于經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大�。�在最低點(diǎn)，由重力和管子的彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求出管壁對(duì)小球的彈力大�。�
（3）從B到A的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式，可求出B點(diǎn)的速度．運(yùn)用分解法，可求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度和B點(diǎn)的豎直分速度，由v_y=gt求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，小球的拋出點(diǎn)到管口B的水平距離x=v₀t．

解答：解：（1）小球在最高時(shí)對(duì)管壁無(wú)作用力，重力提供向心力，由向心力公式得：
mg=

m v 2 A

R

可得小球到達(dá)圓管最高點(diǎn)時(shí)的速度為：
v_A=

gR

=

10×3.6

m/s=6m/s
（2）設(shè)最低點(diǎn)C的速度為v，小球從管的最低點(diǎn)到最高點(diǎn)A，由機(jī)械能守恒定律可知：mg?2R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

，
可得：v²=4gR+v

2 A

=（4×10×3.6+6²）m²/s²=180（m²/s²）
在最低點(diǎn)，由向心力公式可知 FN-mg=

mv2

R

，
可得：F_N=mg+

mv2

R

=（1×10+

1×180

3.6

）N=60N，方向豎直向上    
（3）設(shè)B點(diǎn)的速度為v_B，由機(jī)械能守恒定律可知：
mg?（R+Rcos60°）=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=12m/s
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，小球做平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程的初速度為：
v₀=v_Bcos60°=12×

1

2

m/s=6m/s，
在B點(diǎn)時(shí)的豎直速度為：v_y=v_Bsin60°=12×

3

2

m/s=6

3

m/s
由v_y=gt可知：t=

vy

g

=

6 3

10

=

3 3

5

s
由x=v₀t可知，小球的拋出點(diǎn)到管口B的水平距離為：
x=v₀t=6×

3 3

5

m=

18 3

5

m
答：（1）小球到達(dá)圓管最高點(diǎn)A時(shí)的速度大小為6m/s；
（2）小球在管的最低點(diǎn)C時(shí)，管壁對(duì)小球的彈力大小為60N；
（3）小球拋出點(diǎn)P到管口B的水平距離x為

18 3

5

m．

點(diǎn)評(píng)：本題是平拋運(yùn)動(dòng)、牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律等知識(shí)的綜合應(yīng)用，按程序法進(jìn)行分析，關(guān)鍵要靈活選擇研究的過(guò)程和狀態(tài)．