Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內存在垂直紙面向外，大小可調的勻強磁場．M、N為兩塊中心開有小孔的極板，每當帶電粒子經過M、N板時，都會被加速，加速電壓均為U；每當粒子飛離電場后，M、N板間的電勢差立即變?yōu)榱悖�粒子在M、N間的電場中一次次被加速，動能不斷增大，而繞行半徑R不變（M、N兩極板間的距離遠小于R）．當t=0時，質量為m，電荷量為+q的粒子靜止在M板小孔處；M、N間間距很小，粒子在M、N間的電場中的加速時間可忽略不計；
（1）求粒子繞行n圈回到M板時的動能E_n；
（2）為使粒子始終保持在圓軌道上運動，磁場必須周期性遞增；求粒子繞行第n圈時磁感應強度B的大��；
（3）求粒子繞行n圈所需總時間t_n．

Answer 1

分析：帶電粒子以一定的速度進入勻強磁場，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動．當磁場一定時，粒子在磁場中運動的周期僅與粒子的比荷有關，而在磁場中運動的時間還與偏轉角有關．當入射速度越大時，磁場及粒子的比荷不變時，運動軌道的半徑越大；而當軌跡半徑及粒子的比荷不變時，則磁場必須變化．

解答：解：（1）粒子繞行一圈動能的增量為qU，繞行n圈所獲得的總動能：E_n=nqU
（2）因為nqU=

1

2

m

v

2 n

       
qBnvn=

m v 2 n

R

                    
得Bn=

1

R

2nmU q

        
（3）粒子做半徑為R的勻速圓周運動，每一圈所用時間為

2πR

v

，
由于第一圈速度不同，所以每一圈所需時間也不同
第一圈：qU=

1

2

m

v

2 1

                    v1=

2qU m

第二圈：2qU=

1

2

m

v

2 2

                  v2=

2?2qU m

…
第n圈的速度                         vn=

n?2qU m

         
故繞行n圈所需總時間tn=t1+t2+t3+…+tn=

2πR

v1

+

2πR

v2

+…+

2πR

vn

=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)
答：（1）求粒子繞行n圈回到M板時的動能nqU；
（2）粒子繞行第n圈時磁感應強度B的大小Bn=

1

R

2nmU q

；
（3）求粒子繞行n圈所需總時間tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)．

點評：帶電粒子在磁場中運動的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑．同時體現(xiàn)控制變量的方法，在粒子的比荷、半徑一定的情況下，粒子的速度與磁場成正比．