Question

如圖所示，空間存在一個(gè)方向垂直桌面向下的磁場．現(xiàn)將質(zhì)量為m、邊長為L的正方形線框MNPQ，靜止放在光滑絕緣足夠大的水平桌面上，PQ邊與y軸重合．MN邊的電阻為R₁，PQ邊的電阻為R₂，線框其余部分電阻不計(jì)．
（1）若磁場隨時(shí)間的變化規(guī)律為B_t=B₀+kt（k為大于零的已知常數(shù)），求線框中感應(yīng)電流的大小和方向．
（2）若磁場不隨時(shí)間變化，而是按照下列情況分布：磁感應(yīng)強(qiáng)度沿y軸方向均勻分布，沿x軸方向按規(guī)律B_x=kx變化（k為大于零的已知常數(shù)），線框從t=0時(shí)刻、以初速度ν₀由圖示位置向x軸正方向平動(dòng)．求在圖示位置線框所受安培力的大小和方向．
（3）在第（2）問中，若R₁=2R₂，求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R₁產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：1、由電動(dòng)勢的定義式求電動(dòng)勢，由楞次定律判斷電流方向；
2、先計(jì)算出感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流，再由安培力公式求安培力；
3、由動(dòng)能定理或能量關(guān)系求產(chǎn)生的熱量．

解答：解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知：E=

△Φ

△t

=L2

△B

△t

=kL2
感應(yīng)電流的大小為：I=

E

R1+R2

=

kL2

R1+R2

感應(yīng)電流的方向沿NPQMN．                               
（2）MN處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為kL，所以MN切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢為：E=BLv₀=kL²v₀，
PQ處磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，所以其產(chǎn)生的電動(dòng)勢也為0，
因此線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=kL²v₀
線框中的感應(yīng)電流為：I=

E

R1+R2

=

kL2v0

R1+R2

線框受的安培力方向沿-x方向（或水平向左）                   
安培力大小為：F=LIB=

k2L4v0

R1+R2

（3）線框最終停止，根據(jù)能量關(guān)系，線框中產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=

1

2

m

v

2 0

電阻R₁產(chǎn)生的焦耳熱為：QR1=

R1

R1+R2

Q=

1

3

m

v

2 0

答：（1）線框中感應(yīng)電流的大小為

kL2

R1+R2

，感應(yīng)電流的方向沿NPQMN．
（2）在圖示位置線框所受安培力的大小為

k2L4v0

R1+R2

，線框受的安培力方向沿-x方向．
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R₁產(chǎn)生的焦耳熱為

1

3

m

v

2 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題是道綜合性較強(qiáng)的題目，運(yùn)用了法拉第電磁感應(yīng)定律，動(dòng)能定理等知識(shí)點(diǎn)，要細(xì)心閱讀題目，仔細(xì)計(jì)算．