Question

如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R．一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動．要求物塊能通過圓形軌道最高點，且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）．求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍．

Answer 1

分析：要求物塊相對于圓軌道底部的高度，必須求出物塊到達(dá)圓軌道最高點的速度，在最高點物體做圓周運動的向心力由重力和軌道對物體的壓力提供，當(dāng)壓力恰好為0時，h最��；當(dāng)壓力最大時，h最大．

解答：解：若物體恰好能夠通過最高點，則有
mg=m

v12

R

解得v₁=

gR

初始位置相對于圓軌道底部的高度為h₁，
則根據(jù)機(jī)械能守恒可得
mgh₁=2mgR+

1

2

mv12
解得h₁=

5

2

R
當(dāng)小物塊對最高點的壓力為5mg時，
有5mg+mg=m

v22

R

解得v₂=

6gR

初始位置到圓軌道的底部的高度為h₂，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得
mgh₂=2mgR+

1

2

mv22
解得h₂=5R
故物塊的初始位置相對于圓軌道底部的高度的范圍為

5R

2

≤ h≤5R

點評：物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動的過程中在最高點的最小速度必須滿足有mg=m

v12

R

，這是我們解決此類問題的突破口．