Question

（2010?福州模擬）在半徑R=5000km 的某星球表面，宇航員做了如下實(shí)驗(yàn)．實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量m=0.2kg 的小球從軌道AB上高H處的某點(diǎn)靜止滑下，用力傳感器測(cè)出小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F，改變H的大小，可測(cè)出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示．求：

（1）圓軌道的半徑．
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）小球從A到C運(yùn)動(dòng)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球?qū)�軌道C點(diǎn)的壓力與H的關(guān)系式，然后結(jié)合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度相等，根據(jù)萬有引力等于重力，求出該星球的第一宇宙速度．

解答：解：
（1）設(shè)該星球表面的重力加速度為g₀，圓軌道的半徑為r．當(dāng)H=0.5 m時(shí)，小球恰能通過C點(diǎn)，此時(shí)F=0
由機(jī)械能守恒得：
Mg₀（H-2r）=

1

2

mv₀²　          ①
由圓周運(yùn)動(dòng)可得：
mg₀=

m v 2 0

r

                     ②
由以上各式解得：
r=

2

5

H=0.2 m                    ③
（2）當(dāng)H＞0.5 m時(shí)，
mg₀（H-2r）=

1

2

mv² ④
mg₀+F=

mv2

r

                    ⑤
即F=g₀（2H-1）⑥
由F-H圖象可得：g₀=5 m/s²      ⑦
根據(jù)萬有引力定律和向心力公式有  

GMm

R2

=m

v2

R

                    ⑧

GMm

R2

=mg₀                     ⑨
由⑦⑧⑨得該星球的第一宇宙速度：
v=

g0R

=

5×5×106

m/s=5000m/s=5km/s．    
答：
（1）圓軌道的半徑0.2m．
（2）該星球的第一宇宙速度5km/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與機(jī)械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出壓力F與H的關(guān)系式．