Question

一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕質(zhì)直桿，兩端各固定一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，兩球質(zhì)量均為m，輕桿可以繞過(guò)其中點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）若直桿轉(zhuǎn)動(dòng)周期T=2π

L g

，求直桿轉(zhuǎn)到如圖所示豎直位置時(shí)，A、B兩球?qū)χ睏U作用力各多大？方向如何？
（2）若要求直桿轉(zhuǎn)到圖示的位置時(shí)，直桿對(duì)A球的拉力恰好等于球的重力，求此情況下桿轉(zhuǎn)動(dòng)的周期和B球?qū)χ睏U的作用力．

Answer 1

分析：根據(jù)ω=

2π

T

求出小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．對(duì)兩個(gè)小球受力分析，在豎直方向的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出桿子的作用力大小和方向．

解答：解：A、B兩個(gè)小球隨桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，均以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)的角速度為ω．
（1）若周期T=2π

L g

，則小球運(yùn)動(dòng)角速度 ω=

2π

T

=

g L

…①
運(yùn)動(dòng)中小球所需向心力的大小為：F=mRω2=M

L

2

?

g

L

=

1

2

mg＜mg…②
對(duì)A球：在最高點(diǎn)時(shí)，小球所受重力大于它運(yùn)動(dòng)所需向心力，小球向下壓直桿，桿對(duì)小球有向上的支持力F_A，據(jù)牛頓第二定律，有mg-F_A=mRω²…③
所以FA=mg-mRω2=

1

2

mg…④
在最高點(diǎn)時(shí)，A球?qū)χ睏U有向下的壓力F=FA=

1

2

mg…⑤
對(duì)B球：桿對(duì)小球的拉力F與重力的合力提供了小球運(yùn)動(dòng)所需向心力．有
FB-mg=mRω2
所以FB=mg+mRω2=

3

2

mg… ⑥
在最低點(diǎn)，球?qū)�桿產(chǎn)生豎直向下的拉力，大小為

3

2

mg
（2）若轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，直桿對(duì)小球產(chǎn)生向下的拉力，即小球A受力與圖示F_A方向相反，據(jù)牛頓第二定律，有F_A+mg=mR（ω′）²…⑦
由題設(shè)要求F_A=mg代入上式得ω′=2

g L

…⑧
此時(shí)直桿繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)周期是T′=

2π

ω′

=2

g L

…⑨
此時(shí)處于最低點(diǎn)的球B，有F′-mg=mRω²
F′=mg+mRω²=3mg
答：（1）若直桿轉(zhuǎn)動(dòng)周期T=2π

L g

，直桿轉(zhuǎn)到如圖所示豎直位置時(shí)，A球?qū)χ睏U有向下的壓力

1

2

mg B在最低點(diǎn)，球?qū)�桿產(chǎn)生豎直向下的拉力，大小為

3

2

mg
（2）此情況下桿轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T′=2

g L

，B球?qū)χ睏U的作用力3mg．

點(diǎn)評(píng)：解決本題要知道，小球沿半徑方向的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，注意桿子和繩子不同，繩子只能表現(xiàn)為拉力，桿子既可以表現(xiàn)為拉力，也可以表現(xiàn)為支持力．