Question

（12分）如右圖所示，P為位于某一高度處的質(zhì)量為m的物塊，B為位于水平地面上的質(zhì)量為M的特殊長(zhǎng)平板，，平板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝2.00×10^-2. 在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用區(qū)域”，如圖中劃虛線的部分，當(dāng)物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)時(shí)，B便有豎直向上的恒力f作用于P，f＝kmg，k＝51，f對(duì)P的作用使P剛好不與B的上表面接觸；在水平方向P、B之間沒(méi)有相互作用力. 已知物塊P開(kāi)始自由落下的時(shí)刻，板B向右的速度為V₀＝10.0m/s. P從開(kāi)始下落到剛到達(dá)相互作用區(qū)所經(jīng)歷的時(shí)間為T₀=2.00s. 設(shè)B板足夠長(zhǎng)，保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區(qū)，取重力加速度g=9.80m/s².

求：( 1 ) “相互作用區(qū)域”的厚度是多少？

（2）當(dāng)B從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng)那一時(shí)刻，P已經(jīng)回到過(guò)初始位置幾次？

Answer 1

（1）0.4m  （2）11

解析:

解（1）解: 物塊P剛進(jìn)入相互作用區(qū)的速度

=20 m/s                                          

物塊P一旦進(jìn)入相互作用區(qū)，便受到板的向上作用力，因而做減速運(yùn)動(dòng).    設(shè)在相互作用區(qū)內(nèi)物塊P做減速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則由題給條件可知

              =500 m/s²                            

設(shè)“相互作用區(qū)域”的厚度為d             d =0.4m

（2）根據(jù)題意，在物塊P從開(kāi)始下落至剛進(jìn)入相互作用區(qū)的時(shí)間T₀內(nèi)，板在摩擦力作用下的加速度

            =0.2 m/s²            

    板速度的減少量

              =   0.4 m/s

    經(jīng)歷時(shí)間T，物塊剛要到達(dá)B板上表面，則有

               T=  0.04s          

    在T時(shí)間內(nèi)，B板受到的摩擦力為，在摩擦力作用下的B板加速使

            =1.22 m/s²

    在這段時(shí)間內(nèi)，B板速度的減少量

            =0.0488 m/s

    當(dāng)物塊P的速度減到零后，又開(kāi)始以加速度為a向上做加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間T，跑出相互作用區(qū)，在這段時(shí)間內(nèi)，B板減少的速度仍是；物塊P離開(kāi)相互作用區(qū)后，做加速度為g的減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間T₀，回到初始位置， 在這段時(shí)間內(nèi)，B板減少的速度為，以后物塊P又從起始位置自由落下，重復(fù)以前的運(yùn)動(dòng)，B板的速度再次不斷減少. 總結(jié)以上分析可知：每當(dāng)物塊P完成一次從起始位置自由下落，進(jìn)入相互作用區(qū)后又離開(kāi)相互作用區(qū)，最后回到起始位置的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，B板速度減少的總量為

            =0.8976m/s   

設(shè)在物塊P第n次回到起始位置時(shí)刻，B板的速度為V_n，則有

           

    n越大，V_n越小。設(shè)當(dāng)n=n₀時(shí)，已十分小，致使在物塊P由n=n₀到n=n₀+1的過(guò)程中的某一時(shí)刻，B板的速度已減至零，若仍用⑩式，這表示當(dāng)n=n₀時(shí)

            ＞0

    當(dāng)n=n₀+1時(shí)

            ₊₁＜0

           

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

            n₀＜11.14                          

          n₀＞10.14                 

    因?yàn)?i>n₀為整數(shù)，故有

            n₀＝11                    

 即當(dāng)B開(kāi)始停止運(yùn)動(dòng)的那一時(shí)刻，P已經(jīng)回到過(guò)初始位置11次。