Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過(guò)B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．g=10m/s²，求：

（1）BP間的水平距離．
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道，在此過(guò)程中做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出物塊在P點(diǎn)豎直方向上的分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，從而求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移．物塊過(guò)B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²，知物塊做初速v₀=6m/s，加速度a=-4m/s²的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度位移公式求出BD的距離，從而得出BP間的水平距離．
（2）對(duì)D到M運(yùn)用動(dòng)能定理，結(jié)合牛頓第二定律求出在M點(diǎn)軌道對(duì)物塊的作用力，通過(guò)作用力的正負(fù)判斷是否能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)，知彈性勢(shì)能全部克服阻力做功，用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，通過(guò)B點(diǎn)的速度，結(jié)合能量守恒得出彈性勢(shì)能的大�。畬�(duì)m₂從C到D點(diǎn)研究，根據(jù)能量守恒求出克服摩擦力做功的大小．

解答：解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以初速v_D做平拋運(yùn)動(dòng)，
由公式R=

1

2

gt²和v_y=gt可知物塊落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為：
vy=

2gR

又知：

vy

vD

=tan45°
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：v_D=4m/s
平拋用時(shí)為t，水平位移為s，則：R=

1

2

gt2，s=v_Dt，
解得：s=2R=1.6m．
由公式x=6t-2t²可知物塊在桌面上過(guò)B點(diǎn)后以初速v₀=6m/s、加速度a=-4m/s²減速到v_D，
BD間位移為：s1=

v02-vD2

2a

=

36-16

2×4

m=2.5m
則BP水平間距為：s+s₁=1.6+2.5m=4.1m
（2）若物塊能沿軌道到達(dá)M點(diǎn)，其速度為v_M，則：

1

2

m2vM2=

1

2

m2vD2-

2

2

m2gR
軌道對(duì)物塊的壓力為F_N，則：FN+m2g=m2

vM2

R

解得：FN=(1-

2

)m2g＜0
即物塊不能到達(dá)M點(diǎn)
（3）設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，
釋放m₁時(shí)，E_p=μm₁gs_CB
釋放m₂時(shí)，Ep=μm2gsCB+

1

2

m2v02
且m₁=2m₂，可得Ep=m2v02=7.2J
m₂在桌面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做功為W_f，
則：Ep=Wf+

1

2

m2vD2
可得W_f=5.6J      
答：（1）BP間的水平距離為4.1m．
（2）m₂不能沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）釋放后m₂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功為5.6J．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、能量守恒定律，涉及到直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是理清物塊的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．