Question

電動(dòng)機(jī)通過(guò)一繩子吊起質(zhì)量為8kg的物體，繩的拉力不能超過(guò)120N，電動(dòng)機(jī)的功率不能超過(guò)1200W，要將此物體由靜止起用最快的方式吊高90m（已知此物體在被吊高接近90m時(shí)，已開(kāi)始以最大速度勻速上升，g=10m/s²）求：
（1）重物上升過(guò)程中的最大速度為多少？
（2）物體由靜止起用最快的方式吊高90m所需時(shí)間為多少？

Answer 1

分析：此題可以用機(jī)車起動(dòng)類問(wèn)題的思路，即將物體吊高分為兩個(gè)過(guò)程處理，第一過(guò)程是以繩所能承受的最大拉力拉物體，使物體勻加速上升，第一個(gè)過(guò)程結(jié)束時(shí)，電動(dòng)機(jī)剛達(dá)到最大功率，第二個(gè)過(guò)程是電動(dòng)機(jī)一直以最大功率拉物體，拉力逐漸減小，當(dāng)拉力等于重力時(shí)，物體開(kāi)始勻速上升，在勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，加速度恒定不變．當(dāng)加速度為零時(shí)，速度達(dá)最大，由功率公式可求出最大速度．

解答：解：（1）物體勻速時(shí)，速度達(dá)最大，牽引力等于重力，F(xiàn)=mg；
由功率公式可得：P=Fv_m
v_m=

Pm

F

=

1200

8×10

=15m/s；
（2）由牛頓第二定律可得：
a=

Fm-mg

m

=

120-80

8

=5m/s²；
末速度v_t=

Pm

Fm

=

1200

120

=10 m/s
上升的時(shí)間t₁=

vt

a

=

10

5

s=2 s
上升高度為h=

vt2

2a

=

102

2×5

=10 m
在功率恒定的過(guò)程中，最后勻速運(yùn)動(dòng)的速率為
v_m=

Pm

F

=

Fm

mg

=

1200

8×10

=15 m/s
由動(dòng)能定理得P_mt₂-mgh₂=

1

2

mv_m²-

1

2

mv_t²
代入數(shù)據(jù)后解得t₂=5.75 s，所以t=t₁+t₂=7.75 s
所需時(shí)間至少為7.75 s
答：（1）最大速度為15m/s；
（2）所需最小時(shí)間為7.75s．

點(diǎn)評(píng)：本題中物體雖然為豎直向上運(yùn)動(dòng)，但可以適用由機(jī)車啟動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行解決．