Question

如圖所示，水平軌道AB與位于豎直面內(nèi)半徑為R的半圓形光滑軌道BCD相連，半圓形軌道的BD連線與AB垂直．質(zhì)量為m可看作質(zhì)點(diǎn)的小滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止開始向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)水平軌道的末端B點(diǎn)時(shí)撤去外力，小滑塊繼續(xù)沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好能通過軌道最高點(diǎn)D，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到A點(diǎn)．已知重力加速度為g，求：
（1）滑塊通過D點(diǎn)的速度大小．
（2）滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道壓力的大�。�
（3）滑塊在AB段運(yùn)動(dòng)過程中的加速度大小．

Answer 1

分析：（1）小滑塊繼續(xù)沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，且恰好能通過軌道最高點(diǎn)D，可知此時(shí)重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程求解滑塊通過D點(diǎn)的速度
（2）從B到D應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，結(jié)合第一問的結(jié)果可得B點(diǎn)的速度，在此位置應(yīng)用牛頓第二定律列方程可得軌道對(duì)物體的彈力，應(yīng)用牛頓第三定律得到物體對(duì)軌道的壓力
（3）物體從D點(diǎn)后改做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋規(guī)律可得AB間的水平距離，應(yīng)用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得滑塊在AB段運(yùn)動(dòng)過程中的加速度大小

解答：解：（1）設(shè)滑塊恰好通過最高點(diǎn)D的速度為v_D，根據(jù)牛頓第二定律有
mg=

mv 2 D

R

解得：vD=

gR

（2）滑塊自B點(diǎn)到D點(diǎn)的過程機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊在B點(diǎn)的速度為v_B，則有：

1

2

mv

2 B

=

1

2

mv

2 D

+2mgR
解得：

v

2 B

=5gR
設(shè)滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)所受的支持力為N_B，根據(jù)牛頓第二定律有
 NB-mg=

mv 2 B

R

  
  解得：N_B=6mg
由牛頓第三定律可知，滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小N_B′=6mg
（3）對(duì)于滑塊自D點(diǎn)平拋到A點(diǎn)，設(shè)其時(shí)間為t，則有：
2R=

1

2

gt²
s_AB=v_Dt
解得：s_AB=2R
設(shè)滑塊由A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中加速度為a，則有  

v

2 B

=2asAB
解得：a=

5g

4

答：（1）滑塊通過D點(diǎn)的速度為

gR

（2）滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道壓力的大小為6mg
（3）滑塊在AB段運(yùn)動(dòng)過程中的加速度大小

5g

4

點(diǎn)評(píng)：①物體恰好通過D點(diǎn)是本題的突破口，這一點(diǎn)要注意把握；
②題目要求滑塊經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力大小而根據(jù)物體在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況所求的是軌道對(duì)物體的支持力，故運(yùn)動(dòng)別忘記“由牛頓第三定律求解滑塊在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力