Question

如圖所示，可看作質(zhì)點(diǎn)的物體A、B相距為x₀，質(zhì)量均為ikg，與傾角為37°的固定斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別是

7

16

和

3

4

，現(xiàn)將物體A、B從斜面上由靜止釋放，A將從斜面頂端沿斜面勻加速下滑，并與B發(fā)生連續(xù)彈性正碰（每次碰撞過程時(shí)間極短），已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，斜面長L=36.2m．
（1）若x₀=0，求物體A、B一起下滑的加速度；
（2）若x₀=0.2m，求A由靜止開始到第二次相碰前克服摩擦阻力所做的功；
（3）若x₀=0.2m，求A到達(dá)斜面底端之前已經(jīng)與B發(fā)生了幾次碰撞．

Answer 1

分析：1、假設(shè)A、B沒有發(fā)生相互作用時(shí)求出合外力，再根據(jù)牛頓第二定律求解A、B共同加速度
2、根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A與B第一次碰撞前A的速度，再根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列出等式求解
3、A與B第二次碰撞后，速度交換，根據(jù)位移關(guān)系列出等式求解．

解答：解：（1）若x₀=0，假設(shè)A、B沒有發(fā)生相互作用時(shí)，合外力分別是：
F₁=m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ=1×10×（0.6-

7

16

×0.8）N=2.5N
F₂=m₂gsinθ-μ₂m₂gcosθ=1×10×（0.6-

3

4

×0.8）N=0
所以應(yīng)該是A推B勻加速下滑，根據(jù)牛頓第二定律得：
F₁=（m₁+m₂）a
解得A、B共同加速度為：
a=

F1

m1+m2

=

2.5

1+1

=1.25m/s²，
（2）若x₀=0.2m，B靜止，A的加速度為：
a₁=

F1

m1

=2.5m/s²，
A與B第一次碰撞前A的速度為：
v_A1=

2a1x0

=

2×2.5×0.2

=1m/s
第一次碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：
m_Av_A1=m_Av′_A1+m_Bv′_B1

1 2 mAv

2 A1

=

1 2 mAv′

2 A1

+

1 2 mBv′

2 B1

解得：v′_A1=v_B1=0
v′_B1=v_A1=1m/s
即A、B速度交換，從第1次碰后到第2次碰撞前，根據(jù)位移關(guān)系x_B1=x_A1可得：
v′_B1t₂=

1

2

a₁

t

2 2

所以第2次碰撞前A的速度為：
v_A2=a₁t₂=2v′_B1=2m/s
t₂=

vA2

a1

=

2

2.5

=0.8s
x_A1=x_B1=v′_B1t₂=1×0.8=0.8m
W=μm₁gcos37°（x_A1+x₀）=

7

16

×1×10×0.8×（0.8+0.2）=3.5J
（3）A與B第二次碰撞后，速度交換v′_A2=1m/s，v′_B2=2m/s
從第2次碰后開始到第3次碰撞時(shí)，根據(jù)位移關(guān)系得：
v′_B2t₃=v′_A2t₃+

1

2

a₁

t

2 3

解得：t₃=t₂=0.8s，x_B2=1.6m
依題意計(jì)算可知，A第一次與B碰撞前的速度為1m/s，A第二次與B碰撞前的速度為2m/s，A第三次與B碰撞前的速度為3m/s，
由于碰后速度交換，因而碰后B物體的速度為：
第一次碰后：v′_B1=1m/s
第二次碰后：v′_B2=2m/s
第三次碰后：v′_B3=3m/s
…
第n次碰后：v′_Bn=n  m/s
每段時(shí)間內(nèi)，B物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，第n次碰前運(yùn)動(dòng)的距離為
S_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

  m
帶入L-x₀=

2n(n-1)

5

  m
即36.2-0.2=

2n(n-1)

5

  
解得：n=10次，即A到達(dá)斜面底端之前已經(jīng)與B發(fā)生了9次碰撞．
答：（1）若x₀=0，物體A、B一起下滑的加速度大小是1.25m/s²，
（2）若x₀=0.2m，A由靜止開始到第二次相碰前克服摩擦阻力所做的功是3.5J；
（3）若x₀=0.2m，A到達(dá)斜面底端之前已經(jīng)與B發(fā)生了9次碰撞．

點(diǎn)評：本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生能力要求較高，是一道難題．