Question

如圖所示，在xOy平面內(nèi)的第一象限內(nèi)存在沿Y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限存在有界的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=9.0×10^-3T，有一質(zhì)量為m=9.0×10^-31kg，電量為e=1.6×10^-19C的電子以v₀=2.0×10⁷m/s的速度從Y軸的p點(diǎn)（0，2.5

3

cm）沿X軸正方向射入第一象限，偏轉(zhuǎn)后從X軸的Q點(diǎn)射入第四象限，方向與X軸成60⁰角，在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后又回到Q點(diǎn)，方向與X軸也成60⁰角．不計(jì)電子重力，求：
（1）OQ之間的距離及電子通過Q點(diǎn)的速度大�。�
（2）若在第四象限內(nèi)的磁場(chǎng)的邊界為直線邊界，即在虛線Y=Y₀的下方有磁場(chǎng)，如圖中所示．求Y₀的坐標(biāo)．
（3）若在第四象限內(nèi)的磁場(chǎng)為圓形邊界的磁場(chǎng)，圓形邊界的磁場(chǎng)的圓心坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

分析：（1）由Q點(diǎn)的速度方向與x軸成60⁰角，因已知初速度，由三角函數(shù)關(guān)系，可以得到Q點(diǎn)速度大�。�在由平拋規(guī)律可以得到平拋的水平位移即為OQ之間的距離．
（2）由電子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)可以到的其軌道半徑，在由數(shù)學(xué)幾何關(guān)系可以得到y(tǒng)軸上y₀的坐標(biāo)．
（3）首先來確定圓心的x軸坐標(biāo)：由于入射方向與X軸成60⁰角，在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后又回到Q點(diǎn)，方向與X軸也成60⁰角，故其圓心應(yīng)在Q點(diǎn)的正下方，可知圓心x坐標(biāo)．
磁場(chǎng)圓心y軸坐標(biāo)的最小值為：磁場(chǎng)半徑大于電子軌道半徑時(shí)，由數(shù)學(xué)幾何關(guān)系得到的坐標(biāo)．磁場(chǎng)圓心y軸坐標(biāo)的最大值為：由于磁場(chǎng)必須在第四象限，由其圓心必在Q點(diǎn)的正下方，故其半徑不應(yīng)大于5cm，由此得到的磁場(chǎng)圓心坐標(biāo)即為其最大值．

解答：解：
（1）電子在電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在Q點(diǎn)速度方向與X軸成60⁰角，故
v=

v0

cos60°

=4.0×10⁷m/s
又由平拋規(guī)律：
x=v₀t
y=

vy

2

t
其中：
v_y=v₀tan60°
解得：x=5cm
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故有：
qvB=m

v2

R

由幾何關(guān)系可知，電子回到Q點(diǎn)有：
y₀=Rsin60°tan60°
解得：
y₀=3.75cm
（3）由于在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后又回到Q點(diǎn)，方向與X軸也成60⁰角．其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖：
由幾何關(guān)系可知，圓形磁場(chǎng)的圓心在Q點(diǎn)的正下方，即：x=5cm
圓形磁場(chǎng)應(yīng)與電子軌跡有公共弦，同時(shí)只要磁場(chǎng)半徑r大于R即可，故磁場(chǎng)圓心y軸的最小坐標(biāo)為：
y=y₀+Rcos60°=5cm
圓形磁場(chǎng)在第四象限，磁場(chǎng)半徑應(yīng)小于5cm，由幾何關(guān)系可知，磁場(chǎng)圓心y軸的最大坐標(biāo)為：
y=y0+

r2+(Rcos30°)2

=

15+5 13

4

cm
即圓形磁場(chǎng)的圓心的坐標(biāo)應(yīng)滿足：
x=5cm

15+5 13

4

cm≤y＜-5cm
答：
（1）OQ之間的距離為5cm，電子通過Q點(diǎn)的速度大小為4.0×10⁷m/s
（2）Y₀的坐標(biāo)y₀=3.75cm
（3）圓形邊界的磁場(chǎng)的圓心坐標(biāo)的范圍即圓形磁場(chǎng)的圓心的坐標(biāo)應(yīng)滿足：x=5cm，

15+5 13

4

cm≤y＜-5cm

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在第三問，一：要由其入射和出射的角度相同，判定出來圓心應(yīng)在Q點(diǎn)的正下方（對(duì)稱性）．二：要依據(jù)題目給定的條件判定最大值和最小值分別在什么情況下出現(xiàn)，這個(gè)沒有統(tǒng)一的方法，只能具體題目具體分析，要點(diǎn)就是去找題目當(dāng)中給定的限定條件，如本題中要求必須在第四象限，由此我們就可以去頂其圓心坐標(biāo)的最大值．