Question

如圖，豎直平面內(nèi)有一個(gè)

3

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圓弧形光滑軌道，圓弧半徑為R，AD為水平面，A端與圓心O等高，B點(diǎn)在圓心O的正上方，一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可看作質(zhì)點(diǎn)），自A點(diǎn)以豎直向下的大小為2

gR

的初速度進(jìn)入圓弧軌道，經(jīng)過(guò)圓弧上的B點(diǎn)飛出后落到C點(diǎn)．已知當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g，忽略空氣阻力．求
（1）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（3）AC兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析：（1）小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球所受的軌道的彈力，再根據(jù)牛頓第三定律得到小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（3）小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，高度決定時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和B點(diǎn)的速度求出水平距離，即可求得AC間的距離．

解答：解：（1）A點(diǎn)到B點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：
   -mgR=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

由以上解得：vB=

2gR

（2）B點(diǎn)由牛頓第二定律得：
  F+mg=

mvB2

R

解得：F=mg
由牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力大小為mg．
（3）B到C平拋運(yùn)動(dòng) R=

1

2

gt2
又 x=v_Bt                   
則 x_AC=2R-R=R            
則AC兩點(diǎn)間的距離為R．
答：
（1）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為

2gR

；
（2）小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為mg；
（3）AC兩點(diǎn)間的距離為R．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵要分析小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源、掌握平拋運(yùn)動(dòng)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律進(jìn)行求解．