Question

如圖所示，兩條平行的金屬導(dǎo)軌相距L=lm，水平部分處在豎直向下的勻強磁場B₁中，傾斜部分與水平方向的夾角為37°，處于垂直于斜面的勻強磁場B₂中，兩部分磁場的大小均為0.5T．金屬棒MN和PQ的質(zhì)量均為m=0.2kg，電阻分別為R_MN=0.5Ω和R_PQ=1.5Ω．MN置于水平導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，PQ置于光滑的傾斜導(dǎo)軌上，兩根金屬棒均與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．從t=0時刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由靜止開始以a=2m/s²的加速度向右做勻加速直線運動，PQ則在平行于斜面方向的力F₂作用下保持靜止狀態(tài)．不計導(dǎo)軌的電阻，水平導(dǎo)軌足夠長，MN始終在水平導(dǎo)軌上運動．求：
（1）t=5s時，PQ消耗的電功率；
（2）t=0～2.0s時間內(nèi)通過PQ棒的電荷量；
（3）規(guī)定圖示F₁、F₂方向作為力的正方向，分別求出F₁、F₂隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系；
（4）若改變F₁的作用規(guī)律，使MN棒的運動速度v與位移s滿足關(guān)系：v=0.4s，PQ棒仍然靜止在傾斜軌道上．求MN棒從靜止開始到s=5m的過程中，F(xiàn)₁所做的功．

Answer 1

（1）金屬棒MN在t=5s時的速度為：
v=at=2×5m/s=10m/s
電動勢為：
E=BLv=0.5×1×10V=5V
電流為：I=

E

RMN+RPQ

=

5

0.5+1.5

A=2.5A
則PQ消耗的電功率為：
P_PQ=I²R_PQ=2.5²×1.5W=9.375W
（2）t=0～2.0s時間內(nèi)金屬棒MN運動的位移為：
s=

1

2

at2=

1

2

×2×22m=4m
t=0～2.0s時間內(nèi)穿過回路MNQP磁通量的變化量：
△φ=B₁Ls=0.5×1×4Wb=2Wb
t=0～2.0s時間內(nèi)通過PQ棒的電荷量為：
q=

.

I

?t=

. E

RMN+RPQ

?t=

△φ

RMN+RPQ

=

2

0.5+1.5

C=1C
（3）金屬棒MN做勻加速直線運動過程中，電流為：
I=

BLv

RMN+RPQ

=

BLat

RMN+RPQ

=

0.5×1×2×t

0.5+1.5

=0.5t（A）
對MN運用牛頓第二定律得：
F₁-BIL-F_f=ma
F₁=ma+μmg+BIL
代入數(shù)據(jù)得：F₁=（1.4+0.25t）（N）
金屬棒PQ處于靜止狀態(tài)，根據(jù)平衡條件得：
F₂+BIL=mgsin37°
代入數(shù)據(jù)得：F₂=（1.2-0.25t）（N）
（4）MN棒做變加速直線運動，當s=5m時，v_t=0.4s=0.4×5m/s=2m/s
因為速度v與位移s成正比，所以電流I、安培力也與位移s成正比，安培力做功：
W_B=-

.

FA

s=-

1

2

BL

BLvt

RMN+RPQ

?s=-

1

2

×

0．52×12×2

0.5+1.5

×5J=-0.625J
MN棒動能定理：W_F1-μmgs=

1

2

m

v

2t

-0
W_F1=

1

2

m

v

2t

+μmgs-W_B=

1

2

×0.2×22+0.5×0.2×10×5+0.625=6.025J
答：（1）t=5s時，PQ消耗的電功率為9.375W；
（2）t=0～2.0s時間內(nèi)通過PQ棒的電荷量為1C；
（3）F₁隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系為F₁=（1.4+0.25t）N，F(xiàn)₂隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系為F₂=（1.2-0.25t）N；
（4）MN棒從靜止開始到s=5m的過程中，F(xiàn)₁所做的功為6.025J．