Question

用電阻率為ρ、橫截面積為S的薄金屬條制成邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的閉合正方形框abb′a′．金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場(chǎng)方向平行，如圖1、2所示．設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)僅存在于相對(duì)磁極之間，其他地方的磁場(chǎng)忽略不計(jì)．可認(rèn)為方框的aa′邊和bb′邊都處在磁極間，極間磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．當(dāng)t=0時(shí)，方框從靜止開始釋放，與底面碰撞后彈起（碰撞時(shí)間極短，可忽略不計(jì)），其速度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線如圖3所示，在下落過程中方框平面保持水平，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求在0～15t₀時(shí)間內(nèi)，方框中的最大電流I_m；
（2）若要提高方框的最大速度，可采取什么措施，寫出必要的文字說明和證明過程（設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠長(zhǎng)，寫出一種措施即可）；
（3）估算在0～15t₀時(shí)間內(nèi)，安培力做的功．

Answer 1

分析：（1）從圖象可以看出，最大速度為8v₀，框的aa′邊和bb′邊邊做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)切割公式和歐姆定律列式求解；
（2）根據(jù)安培力公式，牛頓第二定律列式求解出最大速度的表達(dá)式后進(jìn)行討論；
（3）在0～15t₀時(shí)間內(nèi)，物體減小的機(jī)械能一部分通過克服安培力做功轉(zhuǎn)化為電能，一部分在碰撞過程中轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律列式求解．

解答：解：（1）線框的aa′邊和bb′邊邊做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)切割公式，有
E=2BLv?I=

E

R

=

2BLv

ρ 4L S

=

BvS

2ρ

當(dāng)v=v_m=8v₀時(shí)，I有最大值，Im=

B?8v0?S

2ρ

=

4BSv0

ρ

（2）設(shè)金屬線框的密度為d．當(dāng)方框速度v=v_m時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有mg-2BI_mL=0
因?yàn)?span id="tpeuxjq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Im=

Em

R

=

2BLvm

ρ 4L S

=

BSvm

2ρ

m=dV=d?4L?S=4dLS
所以vm=

4dρg

B2

可采取的措施有
a．減小磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
b．更換材料，使d和ρ的乘積變大；
（3）設(shè)方框開始下落時(shí)距底面的高度為h₁，第一次彈起后達(dá)到的最大高度為h₂．
在下落過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：mgh1+W安1=

1

2

m?(8v0)2
在上升過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：-mgh2+W安2=0-

1

2

m?(7v0)2
又因?yàn)?span id="tp7wzej" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">mg=2BImL?m=

8B2SLv0

ρg

由圖3可知：h₁=87v₀t₀（86v₀t₀～88v₀t₀均可）h₂=6v₀t₀（5v₀t₀～6v₀t₀均可）
且W_安=W_安1+W_安2
所以W安=-

8B2SLv0

ρg

(81gv0t0-

15

2

v

2 0

)（應(yīng)與h₁、h₂的值對(duì)應(yīng)）
答：（1）求在0～15t₀時(shí)間內(nèi)，方框中的最大電流為

4BSv0

ρ

；
（2）若要提高方框的最大速度，可采取的措施有：
a．減小磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
b．更換材料，使d和ρ的乘積變大；
（3）在0～15t₀時(shí)間內(nèi)，安培力做的功約為-

8B2SLv0

ρg

(81gv0t0-

15

2

v

2 0

)．

點(diǎn)評(píng)：解答這類問題的關(guān)鍵是通過受力分析，正確分析安培力的變化情況，找出最大速度的運(yùn)動(dòng)特征；同時(shí)要能結(jié)合功能關(guān)系列式求解．