Question

如圖所示，ABC為豎直放置的半徑為R=0.1m的半圓形光滑軌道，直徑AC與水平面垂直，A點(diǎn)剛好與水平軌道相接，在軌道的最低點(diǎn)A安裝了一個(gè)壓力傳感器，可測(cè)定小球在軌道內(nèi)側(cè)，通過這點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F．質(zhì)量為m=0.1kg的小球，以不同的初速度沖入ABC軌道．（g取10m/s²）
（1）若小球以某一速度沖入ABC軌道，恰能通過最高點(diǎn)C，求壓力傳感器的示數(shù)．
（2）小球每次通過C點(diǎn)，最后都落在水平軌道上，量出落地點(diǎn)到A點(diǎn)的距離x，試推導(dǎo)F與x變化的關(guān)系式．（用字母表示結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）小球恰好通過最高點(diǎn)，重力提供向心力，在A點(diǎn)時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，從A到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）小球由C點(diǎn)射出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律列式，從A到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，在A點(diǎn)時(shí)，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答：解：（1）小球恰好通過最高點(diǎn)，重力提供向心力，則有：
mg=m

v2

R

①
從A到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：

1

2

mvC2-

1

2

mvA2=-mg?2R ②
在A點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
FN-mg=m

vA2

R

 ③
由①②③解得：F_N=6mg=6×0.1×10=6N
根據(jù)牛頓第三定律可知壓力傳感器的示數(shù)為6N；
（2）小球由C點(diǎn)射出后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
豎直方向：2R=

1

2

gt2  ④
水平方向：x=v_Ct     ⑤
從A到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：

1

2

mvC2-

1

2

mvA2=-mg?2R ⑥
在A點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
F-mg=m

vA2

R

  ⑦
由④⑤⑥⑦解得：F=mg（

x2

4R2

+5）
答：（1）若小球以某一速度沖入ABC軌道，恰能通過最高點(diǎn)C，則壓力傳感器的示數(shù)為6N．（2）F與x變化的關(guān)系式為F=mg（

x2

4R2

+5）．

點(diǎn)評(píng)：圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題中，向心力知識(shí)往往與動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒綜合，抓住速度是聯(lián)系它們之間的紐帶．