Question

某同學(xué)玩“彈珠游戲”裝置如圖所示，S形管道BC由兩個(gè)半徑為R的

1

4

圓形管道拼接而成，管道內(nèi)直徑略大于小球直徑，且遠(yuǎn)小于R，忽略一切摩擦，用質(zhì)量為m的小球?qū)�彈簧壓縮到A位置，由靜止釋放，小球到達(dá)管道最高點(diǎn)C時(shí)對管道恰好無作用力，求：
（1）小球到達(dá)最高點(diǎn)C的速度大��；
（2）若改用同樣大小質(zhì)量為2m的小球做游戲，其它條件不變，求小球能到達(dá)的最大高度；
（3）若改用同樣大小質(zhì)量為

m

4

的小球做游戲，其它條件不變，求小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離．

Answer 1

（1）由于小球到達(dá)管道最高點(diǎn)C時(shí)對管道恰好無作用力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式有：mg=m

v 2C

R

，
解得小球到達(dá)最高點(diǎn)C的速度大小為：v_C=

gR

（2）由于忽略一切摩擦，因此小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，彈簧彈性勢能為：E_p=

1

2

mv

2C

+2mgR=

5

2

mgR
改用質(zhì)量為2m的小球時(shí)，因?yàn)镋_p=

5

2

mgR＜4mgR，所以小球不能到達(dá)C點(diǎn)，設(shè)此時(shí)小球能到達(dá)的最大高度為h，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
E_p=2mgh，
解得：h=

5

4

R
（3）改用質(zhì)量為

m

4

的小球時(shí)，小球能通過最高點(diǎn)C后做平拋運(yùn)動，設(shè)此時(shí)離開C點(diǎn)的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
E_p=

1

2

?

m

4

v+

1

2

mgR
根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律可知，此時(shí)小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動的水平射程：x=v

4R g

聯(lián)立以上各式解得：x=8R
根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知，小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為：d=x+2R=10R
答：（1）小球到達(dá)最高點(diǎn)C的速度大小為

gR

；
（2）小球能到達(dá)的最大高度為

5

4

R；
（3）小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為10R．