Question

如圖所示，在第一、二象限存在場強(qiáng)均為E的勻強(qiáng)電場，其中第一象限的勻強(qiáng)電場的方向沿x軸正方向，第二象限的電場方向沿x軸負(fù)方向。在第三、四象限矩形區(qū)域ABCD內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，矩形區(qū)域的AB邊與x軸重合。M是第一象限中無限靠近y軸的一點(diǎn)，在M點(diǎn)有一質(zhì)量為m、電荷量為e的質(zhì)子，以初速度v₀沿y軸負(fù)方向開始運(yùn)動，恰好從N點(diǎn)進(jìn)入磁場，若，不計(jì)質(zhì)子的重力，試求：

（1）N點(diǎn)橫坐標(biāo)d；
（2）若質(zhì)子經(jīng)過磁場最后能無限靠近M點(diǎn)，則矩形區(qū)域的最小面積是多少；
（3）在（2）的前提下，該質(zhì)子由M點(diǎn)出發(fā)返回到無限靠近M點(diǎn)所需的時(shí)間。

Answer 1

（1）　�。�2）   （3）

試題分析：（1）粒子從M點(diǎn)到N點(diǎn)做類平拋運(yùn)動，沿x軸正方向做勻加速運(yùn)動，沿y軸負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t₁，則由平拋運(yùn)動規(guī)律得：
在x軸方向上有　在y軸方向上有：
根據(jù)牛頓第二定律得：
以上各式聯(lián)立解得：，
（2）根據(jù)運(yùn)動的對稱性作出質(zhì)子的運(yùn)動軌跡如圖所示

設(shè)粒子到達(dá)N點(diǎn)時(shí)沿x軸正方向分速度為v_x，則，即
質(zhì)子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為
由幾何關(guān)系知：質(zhì)子進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與x軸正方向夾角為45^o
質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為
AB邊的最小長度為
BC邊的最小長度為
所以矩形區(qū)域的最小面積為
（3）由幾何關(guān)系知：質(zhì)子在磁場中運(yùn)動的圓心角為，運(yùn)動時(shí)間
根據(jù)線速度的定義知：
根據(jù)對稱性，質(zhì)子在第二象限運(yùn)動時(shí)間與在第一象限運(yùn)動時(shí)間相等，質(zhì)子在第一象限運(yùn)動時(shí)間
所以該質(zhì)子由M點(diǎn)出發(fā)返回到無限靠近M點(diǎn)所需的時(shí)間為：