Question

（2008?荊州一模）已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的

1

81

，半徑約為地球半徑的

1

3.6

．一宇航員在月球上用一根長(zhǎng)為l的輕質(zhì)細(xì)繩一端掛住一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定于空間一點(diǎn)，細(xì)繩自由下垂后，他給小球-個(gè)水平方向的沖量I₀．使小球獲得一水平初速度后，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，要使小球在向上擺動(dòng)的過(guò)程中，細(xì)繩松弛，則宇航員所給小球的水平?jīng)_量I₀的范圍為多大（設(shè)地球表面的重力加速度為g）？

Answer 1

分析：要使小球在向上擺動(dòng)的過(guò)程中細(xì)繩能夠松弛，首先要保證小球能夠過(guò)與懸掛點(diǎn)等高處，其次要保證小球最多恰能經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和向心力公式列式求解．

解答：解：設(shè)月球表面的重力加速度為g′，地球表面重力加速度為g，則
G

mM地

R 2 地

=mg
G

mM月

R 2 月

=mg′
∴g′=

4

25

g；                                                    
要使小球在向上擺動(dòng)的過(guò)程中，細(xì)繩會(huì)松馳，必有小球作圓弧運(yùn)動(dòng)到與固定等高處時(shí)速度v₁≥0，且在小球在固定點(diǎn)上方l處的速度滿足mg≥m

v 2 2

l

；
而I₀=mv₀，E_K0=

1

2

m

v

2 0

=

I 2 0

2m

∴

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+mgl

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 2

+2mgl            
聯(lián)立解得：

2m 2gl

5

≤I0≤

2m 5gl

5

．
答：宇航員所給小球的水平?jīng)_量I₀的范圍為

2m 2gl

5

≤I0≤

2m 5gl

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵抓住兩個(gè)臨界狀態(tài)：恰好過(guò)與懸點(diǎn)等高位置以及恰好經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)．然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律、向心力公式和牛頓第二定律列式求解．