Question

要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r₂的預(yù)定軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r₁的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如圖所示，在A點(diǎn)，使衛(wèi)星速度增加，從而使衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)，再次改變衛(wèi)星速度，使它進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行．試求：
（1）衛(wèi)星在近地暫行軌道上的運(yùn)行周期；
（2）衛(wèi)星從A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間．已知地球表面的重力加速度大小為g，地球的半徑為R．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力求解．
（2）根據(jù)開普勒第三定律，由半徑為r₁與半徑為r₂可求出橢圓軌道的周期，從而確定衛(wèi)星從A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間為t．

解答：解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，由于衛(wèi)星貼近地球表面，
則有：G

mM

r 2 1

=m(

2π

T

)2r1      （1）
 黃金代換式：GM=g

r

2 1

         （2）
由（1）（2）解之得：T=

2πr1

R

r1 g

     （3）
（2）根據(jù)開普勒第三定律，即

r 3 1

T2

=

(r1+r2)3

T′2

  （4）
因?yàn)?span id="cfch59s" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">tAB=

T

2

                  （5）
由（3）（4）（5）聯(lián)立解得：
  tAB=

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

 
答：（1）衛(wèi)星在近地暫行軌道上的運(yùn)行周期

2πr1

R

r1 g

；
（2）衛(wèi)星從A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間為tAB=

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩知識(shí)點(diǎn)，以及會(huì)用開普勒第三定律解題．