Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電點(diǎn)電荷正從原點(diǎn)O沿y軸正方向以初速度v₀出發(fā)，電荷重力不計(jì)，試在電荷運(yùn)動(dòng)的空間內(nèi)加上一個(gè)電場(chǎng)，使該點(diǎn)電荷能通過(guò)第一象限的已知點(diǎn)P（a，b）（P點(diǎn)坐標(biāo)a、b為已知量），且使電荷在P點(diǎn)的動(dòng)能和電荷在原點(diǎn)O的初動(dòng)能相等．要求所加電場(chǎng)盡可能簡(jiǎn)單、常規(guī)，電荷的運(yùn)動(dòng)也盡可能簡(jiǎn)單．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出一種解決方案，求出這種方案中，原點(diǎn)O處的場(chǎng)強(qiáng)大小．

Answer 1

分析：在空間放置一個(gè)點(diǎn)電荷，可以使得運(yùn)動(dòng)的電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑，通過(guò)牛頓第二定律，根據(jù)庫(kù)侖引力提供向心力求出點(diǎn)電荷的電量．也可以利用斜拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)設(shè)計(jì)方案．

解答：解：方案一：利用位于x軸上（r，0）點(diǎn)處帶負(fù)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)，使粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)P點(diǎn)（見(jiàn)圖甲），電荷Q位于圓心Oˊ處（r，0）設(shè)OˊP與x軸成角，則：
r+rcosα=a…①
rsinα=b…②
由①②式得：r=

a2+b2

2a

… ③
又qE₁=m

v 2 0

r

  ④
由③④解得：E₁=

2m v 2 0 a

q(a2+b2)

方案二：利用一與OP垂直的斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂在統(tǒng)一等勢(shì)面上，使粒子做拋體運(yùn)動(dòng)到達(dá)P點(diǎn)（見(jiàn)圖乙）
設(shè)OP長(zhǎng)為r，將電荷的運(yùn)動(dòng)分解OPˊ在和垂直于OP的方向上
  v₀sinβ?t=r
  0-v₀cosβ=-

qE2

m

?

t

2

注意到sinβ=

b

r

?cosβ=

a

r

 r=

a2+b2

解得：E₂=

2m v 2 0 ab

q (a2+b2)3

答：設(shè)計(jì)方案見(jiàn)上，原點(diǎn)O處的場(chǎng)強(qiáng)大小為

2m v 2 0 a

q(a2+b2)

或

2m v 2 0 ab

q (a2+b2)3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是開(kāi)放題，需要選擇簡(jiǎn)單、常規(guī)的方案，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是一道開(kāi)發(fā)思維的好題．