Question

（2011?重慶模擬）如圖所示的直角坐標(biāo)系中，從直線x=-2l₀到y(tǒng)軸區(qū)域存在兩個(gè)大小相等、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中x軸上方的電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，x軸下方的電場(chǎng)方向沿y軸正方向．在電場(chǎng)左邊界從A（-2l₀，-l₀）點(diǎn)到C（-2l₀，0）點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子．從某時(shí)刻起，A點(diǎn)到C點(diǎn)間的粒子依次連續(xù)以相同速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)．從A點(diǎn)射入的粒子恰好從y軸上的A'（0，l₀）點(diǎn)沿x軸正方向射出電場(chǎng)，其軌跡如圖所示．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用．
（1）求從AC間入射的粒子穿越電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t和勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）求在A、C間還有哪些坐標(biāo)位置的粒子，通過(guò)電場(chǎng)后也能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)？
（3）為便于收集沿x軸正方向射出電場(chǎng)的所有粒子，若以直線x=2l₀上的某點(diǎn)為圓心的圓形區(qū)域內(nèi)，設(shè)計(jì)分布垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使得沿x軸正方向射出電場(chǎng)的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，都能通過(guò)直線x=2l₀與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)．則磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是多大？相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是多大？

Answer 1

分析：（1）將帶電粒子的運(yùn)用沿水平和豎直方向正交分解，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在x軸上下方都做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析；
（2）先畫出運(yùn)動(dòng)的一般軌跡，要使粒子通過(guò)電場(chǎng)后能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其第一次到達(dá)x軸的水平分位移的2n倍等于2l₀，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析即可；
（3）先畫出各個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)題意確定磁場(chǎng)范圍，最后根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答：解：（1）設(shè)從A點(diǎn)射入的粒子由A點(diǎn)到A'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)成稱性可得：
x方向有：2l₀=v₀t得t=

2l0

v0

    ①
y方向有：l0=

qE

2m

(

t

2

)2       ②
解得     E=

2m v 2 0

ql0

         ③
即從AC間入射的粒子穿越電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t為

2l0

v0

，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

2m v 2 0

ql0

．
（2）設(shè)到C點(diǎn)距離為△y處射出的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也沿x軸正方向，粒子第一次到達(dá)x軸用時(shí)△t，水平分位移△x，
則△x=v₀△t     ④
△y=

qE

2m

(△t)2   ⑤
要粒子從電場(chǎng)中射出時(shí)速度方向也沿x軸正方向，必須滿足條件2l₀=n?2△x（n=1，2，3…）      ⑥
聯(lián)立③④⑤⑥解得：△y=

1

n2

l0⑦
故粒子從電場(chǎng)中射出時(shí)速度方向也沿x軸正方向，必須是在AC間縱坐標(biāo)為：y=(-1)n

1

n2

l0，(n=1，2，3…)⑧
（3）當(dāng)n=1時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為y₁=l₀⑨
當(dāng)n=2時(shí)，粒子射出的坐標(biāo)為y2=-

1

4

l0⑩
當(dāng)n≥3時(shí)，沿x軸正方向射出的粒子分布在y₁到y(tǒng)₂之間（如圖所示）．
y₁、y₂之間距離為  L=y1-y2=

5l0

4

   （11）
所以，磁場(chǎng)圓O₁的最小半徑R=

L

2

=

5l0

8

  （12）
若使粒子經(jīng)磁場(chǎng)后匯集于直線x=2l₀與圓形磁場(chǎng)邊界的一個(gè)交點(diǎn)，分析知此點(diǎn)只能是答圖中的Q點(diǎn)，且粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于磁場(chǎng)區(qū)域圓半徑．    
由  qv0B=m

v 2 0

R

  （13）
聯(lián)立（12）（13）得：B=

8mv0

5ql0

  （14）
即磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑是

5l0

8

，相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是

8mv0

5ql0

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；解題過(guò)程中要畫出軌跡圖分析，特別是第三小題，要畫出準(zhǔn)確的圓軌跡圖分析才能有助與問(wèn)題的解決．